Perpendicolarità e parallelismo

Perpendicolarità tra retta e piano

Teorema

Dato un punto $$A$$ appartenente alla retta $$r$$, se si prendono in considerazione le rette $$s$$​ e $$t$$ perpendicolari a $$r$$ e passanti per $$A$$, allora la retta $$r$$ sarà perpendicolare a tutte le rette appartenenti al piano definito dalle rette $$s$$ e $$t$$.

Teorema

Le rette perpendicolari alla retta $$r$$ e passanti per il punto $$A$$ giacciono tutte sullo stesso piano.

Definizione

Una retta è definita perpendicolare al piano se è incidente al piano ed è perpendicolare rispetto a tutte le rette appartenenti al piano. Il punto di intersezione viene definito come piede della perpendicolare.

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Perpendicolarità tra due rette

Dati un punto $$A$$ ed una retta $$r$$ possiamo distinguere due casi di perpendicolarità tra rette:

1. Se il punto non appartiene alla retta $$r$$ allora esisterà una ed una sola retta $$s$$ perpendicolare ad $$r$$ e passante per il punto ​$$A$$;
2. Se il punto appartiene alla retta $$r$$, allora esisteranno infinite rette perpendicolari alla retta $$r$$ e passanti per il punto $$A$$. Tutte queste rette perpendicolari ed incidenti giacciono su un piano perpendicolare rispetto alla retta $$r$$.

Nota bene: due rette sono perpendicolari se appartengono ad uno stesso piano e formano quattro angoli retti (da $$90\degree$$).

Ricorda: il simbolo per indicare due rette perpendicolari è $$\perp$$.

Teorema delle tre perpendicolari

Se dal piede $$F$$​ di una retta $$r$$​ perpendicolare ad un piano $$\alpha$$ prendiamo in considerazione una qualsiasi retta perpendicolare $$s$$ appartenente al piano e facciamo passare un'altra retta $$t$$ perpendicolare ad $$s$$, allora quest'ultima sarà perpendicolare al piano formato dalle rette $$r$$ e $$s$$.

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Parallelismo tra retta e piano

Teorema

Dati una retta $$r$$ ed un piano $$\alpha$$, con la retta non appartenente al piano, se la retta $$r$$ è parallela ad una retta $$s$$ giacente sul piano, allora $$r$$ è parallela ad $$\alpha$$.

Nota bene: due rette si dicono parallele se appartengono a uno stesso piano e non hanno punti in comune.

Ricorda: il simbolo per indicare due rette parallele è $$\parallel$$.

Casi particolari

• Due rette perpendicolari ad uno stesso piano sono parallele tra di loro;
• Se una retta $$r$$ è parallela ad un piano $$\alpha$$ allora ogni piano incidente ad $$\alpha$$ e contenente la retta $$r$$ formerà con $$\alpha$$ una retta $$s$$ parallela ad $$r$$;
• Un piano incidente su due piani paralleli crea nelle sue intersezioni due rette parallele.
  

Teorema di Talete nello spazio

Due rette che incidono un fascio di piani paralleli formano dei segmenti corrispondenti proporzionali .

Esempio:

Dati i seguenti dati:  $$AB = 7\,cm$$      $$BC = 14\,cm$$      $$B'C'=10\,cm$$​​ Si trovi la lunghezza del segmento $$A'B'$$. ​​Procedimento Si applica il teorema di Talete nello spazio: ​$$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A'B'}{B'C'}$$​​ Ricaviamo quindi il segmento $$A'B'$$: $$A'B'= \dfrac{AB\cdot B'C'}{BC} = \dfrac{7\cdot9}{14} = \dfrac{63}{14}=4,5\,cm$$