Derivata di una funzione

Rapporto incrementale

Sia $$f(x)$$ una funzione e sia l'intervallo $$[a;b]$$  contenuto nel suo dominio. Siano $$x_1,x_2 \in (a;b), x_2>x_1$$. Si definisce rapporto incrementale di $$f(x)$$ in $$x_1$$: ​$$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$.

Nota bene:

• I due punti $$x_1,x_2$$​ devono essere interni all'intervallo $$[a;b]$$, cioè non devono essere gli estremi dell'intervallo;
• Il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta passante per $$A=(x_1;f(x_1)),B=(x_2,f(x_2))$$.

Derivata

Sia $$f(x)$$ una funzione e sia l'intervallo $$[a;b]$$ contenuto nel suo dominio.

Siano $$x_0 \in (a;b), h \in \mathbb{R}^+$$: si definisce derivata di $$f(x)$$ in $$x_0$$ il limite del suo rapporto incrementale. 

In formule: $$\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$.

Se il limite esiste finito, si scrive $$f'(x_0)$$.

Nota bene:

•  ​$$f'(x_0)$$ è il coefficiente angolare della retta tangente a $$f(x)$$ in $$x_0$$.
• Se una funzione ammette la derivata in un punto, allora la funzione è continua in quel punto, ma non è vero il contrario: se una funzione è continua in un punto, non è detto che ammetta derivata in quel punto!
• Poiché la definizione di derivata passa per il concetto di limite, si può parlare anche di derivata destra, $$f'_+(x_0)=\lim_{h \rightarrow 0^+} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$, e di derivata sinistra, $$f'_-(x_0)=\lim_{h \rightarrow 0^-} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$, di una funzione in un punto.

Calcolare la derivata attraverso la definizione

Si può calcolare $$f'(x_0)$$ usando la definizione di derivata.

Esempi

Siano $$f(x)= e^{x+3}, x_0=5$$. 

Verifica che il punto appartenga al dominio della funzione, poi procedi a eseguire i calcoli.

$$f'(5)= \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{e^{5+h+3}-e^{5+3}}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{e^{8+h}-e^8}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{e^8 \cdot e^h-e^8}{h}= \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{e^8 \cdot (e^h-1)}{h}= e^8$$

Siano $$g(x) = \dfrac{1}{x+2}, x_0=2$$.

$$g'(2)= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \dfrac{1}{2+h+2} - \dfrac{1}{2+2}\right) \cdot \dfrac{1}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \dfrac{1}{4+h} - \dfrac{1}{4}\right) \cdot \dfrac{1}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \dfrac{4-4-h}{(4+h)\cdot 4}\right) \cdot \dfrac{1}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-h}{(4+h)\cdot 4} \cdot \dfrac{1}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-1}{(4+h) \cdot 4}= -\dfrac{1}{16}$$​​