Permutazioni

Permutazioni semplici

Dati $$n$$ elementi diversi fra loro, si dicono permutazioni semplici tutti i raggruppamenti possibili tali che:

• ​ogni raggruppamento contenga tutti gli $$n$$ elementi;
  
• ogni raggruppamento differisca da tutti gli altri per l'ordine degli elementi.

In formule: $$P_n= n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot . . . . \cdot 2 \cdot 1$$, con $$n >2$$.​

Nota bene:

• Una delle domande a cui rispondono le permutazioni è la seguente: in quanti modi si possono mettere in ordine $$n$$ elementi?
• Le permutazioni in cui gli $$n$$ elementi sono tutti diversi tra loro, sono disposizioni semplici di $$n$$ elementi in $$n$$ posti, in formule:​
  $$D_{n,n}=n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 1=P_n$$​​
  

Esempio

Quante parole diverse si possono scrivere, sensate e non, con tutte le lettere di $$"sacrilego"$$?

$$Sacrilego$$​ ha $$9$$ lettere tutte diverse, quindi si tratta di scrivere il numero delle permutazioni semplici: al primo posto potrai scegliere tra $$9$$ elementi diversi, scelto il primo elemento da usare il successivo dovrà essere scelto tra $$8$$ e così via fino alla scelta obbligata dell'ultimo; perciò:​

$$P_n=9!=9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1= 362880$$.

Funzione fattoriale

La funzione fattoriale è definita con il simbolo "$$!$$" , una funzione crescente a velocità molto rapida. Ecco la sua definizione:

• ​$$0!=1$$;
• $$1!=1$$;
• $$n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 1 \ \ \ \ \ \ \ n \ge 2$$;
• ​$$n! = n \cdot (n-1)! \hspace{2cm} n\ge2$$.​
  

Nota bene: la funzione fattoriale è definita solo sui numeri naturali.

Permutazioni con ripetizione

Dati $$n$$ elementi in cui sono presenti degli elementi​ che si ripetono si dicono permutazioni con ripetizione tutti i possibili raggruppamenti fatti di modo che:

• ogni raggruppamento contenga tutti gli $$n$$ elementi;
• ciascun raggruppamento differisca da tutti gli altri per l'ordine degli elementi.

Indicando con $$h$$ il numero di ripetizioni del primo elemento che si ripete, con $$k$$ un eventuale secondo e così via, allora in formule:

 $$P_{n}^{h,k,...}= \dfrac {n!}{h! \cdot k! \cdot ...}$$.

​

Esempio

Quante parole diverse si possono scrivere, sensate e non, con tutte le lettere di "$$tutto$$"?

Se pensi alla parola $$tutto$$ come una parola di $$5$$ lettere si avrebbe per le permutazioni semplici: $$P_5=5!=120$$, ma scrivendo gli anagrammi si trova:

$$otttu \ ottut \ otutt \ outtt \ tottu \ totut \ toutt \ ttotu \ ttout \ tttou\\ \ tttuo \ ttuot \ ttuto \ tuott \ tutot \ t utto \ uottt \ utott \ uttot \ uttto$$ 

e cioè $$20$$ nuove parole. Questo perché non c'è differenza tra una $$t$$ e l'altra, per questo caso si usa la formula delle permutazioni con ripetizione, da cui:

$$P_5^3= \dfrac {5!}{3!}=\dfrac {120}{6}= 20$$.​