Poliedri

Definizione

Un poliedro è una figura solida delimitata da un numero finito di poligoni appartenenti a piani diversi e tali che questi piani non attraversino il solido.

Definizioni

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Teorema - Relazione di Eulero

Detti $$F$$, $$S$$, $$V$$  rispettivamente il numero di facce, spigoli e vertici per i poliedri, vale sempre la seguente relazione: $$F+V-S = 2$$.

Prismi

Dati un poligono ed una retta $$r$$ incidente al piano del poligono, un prisma indefinito è dato dalla figura definita dall'insieme delle rette parallele ad $$r$$ e passanti per i vertici del poligono.

Un prisma definito è costituito da un prisma indefinito intersecato con due piani paralleli. 

Si possono riconoscere e definire le seguenti componenti:

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Prisma retto

Un prisma è retto se le basi sono perpendicolari agli spigoli laterali.

Se le basi sono poligoni regolari, allora il prisma retto si dice regolare.​

Parallelepipedi

Un parallelepipedo è un prisma le cui basi sono parallelogrammi.

Un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo retto con basi rettangoli.

La diagonale si misura come $$d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$$, con $$a,b,c$$ spigoli del parallelepipedo.

Cubo

Un cubo è un parallelepipedo formato da sei quadrati congruenti.

La diagonale del cubo, con $$s$$ gli spigoli del cubo si misura come $$d = s\sqrt3$$ .

Piramidi

Angoloide e Triedro

Dati un poligono convesso ed un punto $$P$$ non appartenente al piano del poligono, definiamo un angoloide come la figura definita da tutte le semirette che partono da $$P$$ e passano per i vertici del poligono. Un angoloide con tre spigoli viene definito triedro.

Piramide

Una piramide è formata dall'intersezione tra un angoloide ed un piano che interseca tutti i suoi spigoli.

Una piramide si dice retta quando si può inscrivere una circonferenza nella sua base ed il centro di questa circonferenza è la proiezione ortogonale del vertice $$P$$

Una piramide retta è definita regolare quando alla base c'è un poligono regolare.

Teorema

Definiamo come apotema l'altezza di una qualsiasi faccia laterale di una piramide retta. Queste altezze sono tutte congruenti e passano per i punti di tangenza della circonferenza inscritta.

Tronco di piramide

Un tronco di piramide è la figura costituita dall'intersezione tra una piramide ed un piano parallelo alla base. E' considerata il tronco la parte compresa tra la base e il nuovo piano. La distanza tra le due basi è definita altezza.

Poliedri regolari

Definiamo:

• il diedro del poliedro come il diedro individuato da due facce di un poliedro e dallo spigolo in comune;
• l'angoloide del poliedro come l'angoloide formato da un vertice del poliedro e gli spigoli del poliedro.

Un poliedro regolare è un poliedro avente come facce poligoni regolari congruenti e angoloidi e diedri tutti congruenti tra di loro. 

Solidi di rotazione

Un solido di rotazione è un solido formato dalla rotazione di una figura attorno alla retta $$r$$ e di un angolo $$\theta$$.

Cilindro

Un cilindro è un solido formato dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati.

Ha come basi due cerchi e la sua altezza è la distanza tra questi.

Cono

Un cono è un solido formato facendo girare un triangolo rettangolo attorno ad un dei suoi cateti.

Le sue misure fondamentali sono il raggio del cerchio, l'altezza del cono e l'apotema.

Sfera

La sfera è quel solido formato dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro. La sua misura fondamentale è il raggio.