I teoremi di Euclide

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa.

In formule:

​$$\boxed {b^2=s \cdot c}$$​​

​$$\boxed{a^2=t \cdot c}$$​​

Ricorda: in un triangolo rettangolo l'ipotenusa è il lato opposto all'angolo retto e i cateti sono i lati adiacenti ad esso.

Esempio

Trovare la proiezione di un cateto sull'ipotenusa, noti $$b = 4$$ e $$c = 10$$. 

Si applica il teorema e si inverte la formula esplicitando $$s$$. 

$$s = \dfrac{b^2}{c} = \dfrac {16}{10} = \dfrac {8}{5}$$​

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

In formule : $$\boxed{h^2 = s \cdot t}$$​​

Esempio

Trovare la lunghezza delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa, noto il loro rapporto  $$\dfrac{s}{t} = \dfrac{7}{4}$$ e $$h = 7$$.

Si esprime $$s$$ in funzione di $$t$$ utilizzando il rapporto noto.

$$s = \dfrac{7}{4} t$$

Si sostituisce l'espressione nel teorema

$$h^2 = s \cdot t = \dfrac{7}{4}t^2$$​ 

e si inverte la formula esplicitando $$t$$:

$$t = \sqrt{\dfrac{4}{7}h^2} = \sqrt{\dfrac{4}{7}49} =\sqrt{28}=2\sqrt{7}$$

Si trova infine $$s$$ con l'espressione precedente:

$$s = \dfrac{7}{4}2\sqrt{7}= \dfrac{7}{2}\sqrt{7}$$

​​

Nota bene: i teoremi di Euclide hanno validità solo per triangoli rettangoli.