​​​​​​​​Le disequazioni di primo grado

Definizione

Una disequazione è una diseguaglianza in cui compare un'espressione letterale (o più) dette incognite, per le quali si va alla ricerca delle soluzioni. Tutti i valori che rendono vera la disuguaglianza vanno a formare l'insieme delle soluzioni.

Esempio

​$$8x>14+x$$

ha come soluzione $$S=\{x\in \R | x>2\}$$.

Rappresentazione delle soluzioni

Nelle disequazioni solitamente le soluzioni non sono valori puntuali, bensì intervalli della retta reale. In particolare, presi $$a<b$$ con $$a,b\in\R$$, la natura di tale intervallo può essere:

• intervallo limitato, ossia compreso tra due valori specifici $$a,b$$, rispettivamente estremo inferiore e superiore dell'intervallo, rappresentato graficamente con un segmento;
• intervallo illimitato, ossia un insieme di numeri che anticipano (intervallo illimitato inferiormente) o seguono (intervallo illimitato superiormente) un certo valore $$a$$, rappresentato graficamente con una semiretta.

Nel momento in cui tale intervallo viene rappresentato graficamente, il pallino che raffigura gli estremi (se limitato) o l'estremo (se illimitato) può essere:

• pieno se quel valore estremo è compreso nell'intervallo;
• vuoto se quel valore estremo non è compreso nell'intervallo. 

Gli intervalli delle soluzioni si possono anche rappresentare racchiusi entro parentesi quadre, in diverse combinazioni a seconda della tipologia, considerati $$a,b\in\R$$, con $$a<b$$​:

• ​$$[a;b]$$: intervallo chiuso, estremi compresi;
• ​$$[a;+\infty[$$: intervallo illimitato superiormente;
• $$]-\infty;b]$$: intervallo illimitato inferiormente. 

​​Esempi

Tipologie di disequazioni

Una disequazione, a seconda della propria composizione, può essere:

• intera, se l'incognita non compare a denominatore;
• fratta, se l'incognita compare in almeno un denominatore;
• numerica, se l'unica lettera che contiene è l'incognita;
• letterale, se oltre all'incognita ci sono altre lettere che prendono il nome di parametri.​

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Esempi

​$$3x<7+x$$: intera.

$$\dfrac{2}{x+3}+8>54$$: fratta.

$$5x+6>14$$: numerica intera.

​$$12ax+3<4a+x$$: letterale.

Forma normale

Considerando un polinomio $$P(x)$$ ridotto in forma normale, cioè privo di monomi simili, impostandolo come $$<0\ \lor>0$$​ si ottiene una disequazione in forma normale. Inoltre, il grado della disequazione è il grado del polinomio ridotto, ossia il massimo esponente con cui si presenta l'incognita. 

In formule: $$P(x)>0$$ $$\lor$$ $$P(x)<0$$.​

Esempio

​$$9x-3>0$$: disequazione in forma normale.

Disequazioni equivalenti

Due disequazioni si dicono equivalenti se, definite nel medesimo insieme, hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

Primo principio di equivalenza 

Aggiungendo ad ambo i membri di una disequazione lo stesso numero o espressione, valida nell'insieme di definizione della disequazione, si ottiene una disequazione equivalente a quella di partenza.​

Esempio

$$11x+12>3x-4$$​ ha come soluzione $$x>-2$$.

Aggiungendo ad ambo i membri $$2x$$ si ottiene: 

$$11x+12+2x>3x+2x-4$$​ 

$$13x+12>5x-4$$ 

$$x>-2.$$

Secondo principio di equivalenza

Al fine di trasformare una disequazione in un'altra ad essa equivalente è possibile:

• se il numero è positivo, moltiplicare o dividere ambo i membri per uno stesso numero positivo;
  
• se il numero è negativo, moltiplicare o dividere ambo i membri per uno stesso numero negativo e cambiare il verso della disequazione.

Esempi

​$$4x+3>11x+5$$

Moltiplicando per ​$$4$$ ottengo la disequazione equivalente: $$16x+12>44x+20$$.

$$7x+1>6x+2$$

Moltiplicando per $$-2$$ ottengo la disequazione equivalente: $$-14x-2<-12x-4$$.

Le disequazioni intere

​​Disequazioni numeriche intere

Al fine di risolvere una disequazione intera di primo grado, è necessario applicare i principi di equivalenza enunciati così da ricondursi, in definitiva, a una delle seguenti forme: 

​$$ax \lesseqgtr b$$.

A seconda del tipo di soluzione, una disequazione di primo grado può essere:

• determinata, se esiste una e una sola soluzione;
  
• indeterminata, se esistono infinite soluzioni;
• impossibile, se non esistono soluzioni.

procedimento

Esempio

​$$10x+8<4+4x$$

Disequazioni letterali intere

Ricondottomi alla forma:

​$$Ax \lesseqgtr B$$, dove $$A,B$$ sono termini che non includono l'incognita, ma contenenti al proprio interno altre lettere, dette parametri.

A questo punto occorre studiare il segno di $$A$$, poichè si andrà a dividere il termine a secondo membro per questa espressione e, ricordando il secondo principio di equivalenza, la sua natura positiva o negativa influisce sul verso. 

Considerando, ad esempio la forma $$Ax>B$$​:

• se $$A>0$$, allora $$x>\dfrac{B}{A}$$;
• se $$A<0$$, allora $$x<\dfrac{B}{A}$$;
• se $$A=0$$,  la disequazione è sempre verificata qualora $$B<0$$, altrimenti se $$B>0$$ la disequazione è impossibile.

Esempio 

$$4x+9>k(5x+1)$$​  

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