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Le disequazioni

Le disequazioni di primo grado

Le disequazioni di primo grado

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Insegnante: Claudia

Riassunto

​​​​​​​​Le disequazioni di primo grado

Definizione

Una disequazione è una diseguaglianza in cui compare un'espressione letterale (o più) dette incognite, per le quali si va alla ricerca delle soluzioni. Tutti i valori che rendono vera la disuguaglianza vanno a formare l'insieme delle soluzioni.


Esempio

8x>14+x8x>14+x

ha come soluzione S={xRx>2}S=\{x\in \R | x>2\}.


Rappresentazione delle soluzioni

Nelle disequazioni solitamente le soluzioni non sono valori puntuali, bensì intervalli della retta reale. In particolare, presi a<ba<b con a,bRa,b\in\R, la natura di tale intervallo può essere:

  • intervallo limitato, ossia compreso tra due valori specifici a,ba,b, rispettivamente estremo inferiore e superiore dell'intervallo, rappresentato graficamente con un segmento;
  • intervallo illimitato, ossia un insieme di numeri che anticipano (intervallo illimitato inferiormente) o seguono (intervallo illimitato superiormente) un certo valore aa, rappresentato graficamente con una semiretta.

Nel momento in cui tale intervallo viene rappresentato graficamente, il pallino che raffigura gli estremi (se limitato) o l'estremo (se illimitato) può essere:

  • pieno se quel valore estremo è compreso nell'intervallo;
  • vuoto se quel valore estremo non è compreso nell'intervallo. 

Gli intervalli delle soluzioni si possono anche rappresentare racchiusi entro parentesi quadre, in diverse combinazioni a seconda della tipologia, considerati a,bRa,b\in\R, con a<ba<b​:

  • [a;b][a;b]: intervallo chiuso, estremi compresi;
  • [a;+[[a;+\infty[ : intervallo illimitato superiormente;
  • ];b]]-\infty;b]: intervallo illimitato inferiormente. 


​​Esempi
Matematica; Le disequazioni; 2a superiore; Le disequazioni di primo grado
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Tipologie di disequazioni

Una disequazione, a seconda della propria composizione, può essere:

  • intera, se l'incognita non compare a denominatore;
  • fratta, se l'incognita compare in almeno un denominatore;
  • numerica, se l'unica lettera che contiene è l'incognita;
  • letterale, se oltre all'incognita ci sono altre lettere che prendono il nome di parametri.​


Esempi

3x<7+x3x<7+x: intera.


2x+3+8>54\dfrac{2}{x+3}+8>54: fratta.


5x+6>145x+6>14: numerica intera.


12ax+3<4a+x12ax+3<4a+x: letterale.


Forma normale

Considerando un polinomio P(x)P(x) ridotto in forma normale, cioè privo di monomi simili, impostandolo come <0 >0<0\ \lor>0​ si ottiene una disequazione in forma normale. Inoltre, il grado della disequazione è il grado del polinomio ridotto, ossia il massimo esponente con cui si presenta l'incognita. 

In formule: P(x)>0P(x)>0 \lor P(x)<0P(x)<0.​


Esempio

9x3>09x-3>0: disequazione in forma normale.



Disequazioni equivalenti

Due disequazioni si dicono equivalenti se, definite nel medesimo insieme, hanno lo stesso insieme delle soluzioni.


Primo principio di equivalenza 

Aggiungendo ad ambo i membri di una disequazione lo stesso numero o espressione, valida nell'insieme di definizione della disequazione, si ottiene una disequazione equivalente a quella di partenza.


Esempio

11x+12>3x411x+12>3x-4​ ha come soluzione x>2x>-2.

Aggiungendo ad ambo i membri 2x2x si ottiene: 

11x+12+2x>3x+2x411x+12+2x>3x+2x-4​ 

13x+12>5x413x+12>5x-4 

x>2.x>-2.


Secondo principio di equivalenza

Al fine di trasformare una disequazione in un'altra ad essa equivalente è possibile:

  • se il numero è positivo, moltiplicare o dividere ambo i membri per uno stesso numero positivo;
  • se il numero è negativo, moltiplicare o dividere ambo i membri per uno stesso numero negativo e cambiare il verso della disequazione.


Esempi

4x+3>11x+54x+3>11x+5

Moltiplicando per44 ottengo la disequazione equivalente: 16x+12>44x+2016x+12>44x+20.


7x+1>6x+27x+1>6x+2

Moltiplicando per 2-2 ottengo la disequazione equivalente: 14x2<12x4-14x-2<-12x-4.



Le disequazioni intere

​​Disequazioni numeriche intere

Al fine di risolvere una disequazione intera di primo grado, è necessario applicare i principi di equivalenza enunciati così da ricondursi, in definitiva, a una delle seguenti forme: 

axbax \lesseqgtr b.

A seconda del tipo di soluzione, una disequazione di primo grado può essere:

  • determinata, se esiste una e una sola soluzione;
  • indeterminata, se esistono infinite soluzioni;
  • impossibile, se non esistono soluzioni.


procedimento

1.

Porto allo stesso membro i termini con l'incognita

2.

Porto allo stesso membro i termini noti

3.

Sommo i termini simili

4.

Mi riconduco alla forma normale

5.

Soluzione


Esempio

10x+8<4+4x10x+8<4+4x

1. 

10x4x+8<410x-4x+8<4​​

2. 

10x4x<4810x-4x<4-8​​

3. 

6x<46x<-4​​

4. 

ax<bax<b​​

5. 

x<23x<-\dfrac{2}{3}​​


Disequazioni letterali intere

Ricondottomi alla forma:

AxBAx \lesseqgtr B, dove A,BA,B sono termini che non includono l'incognita, ma contenenti al proprio interno altre lettere, dette parametri.

A questo punto occorre studiare il segno di AA, poichè si andrà a dividere il termine a secondo membro per questa espressione e, ricordando il secondo principio di equivalenza, la sua natura positiva o negativa influisce sul verso. 

Considerando, ad esempio la forma Ax>BAx>B​:

  • se A>0A>0, allora x>BAx>\dfrac{B}{A};
  • se A<0A<0, allora x<BAx<\dfrac{B}{A};
  • se A=0A=0,  la disequazione è sempre verificata qualora B<0B<0, altrimenti se B>0B>0 la disequazione è impossibile.


Esempio 

4x+9>k(5x+1)4x+9>k(5x+1)​  


1.

4x+9>5kx+k4x+9>5kx+k​​

2. 

4x5kx+9>k4x-5kx+9>k​​

3. 

4x5kx>k94x-5kx>k-9​​

4. 

x(45k)>k9x(4-5k)>k-9​​

5.

Ax>BAx>B​​

6.

{x>k945k45k>0\begin{cases}x&>\dfrac{k-9}{4-5k} \\ 4-5k&>0\end{cases}​​

7.

{x<k945k45k<0\begin{cases}x&<\dfrac{k-9}{4-5k}\\ 4-5k&<0\end{cases}​​


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