Le disequazioni di primo grado

Definizione

Una disequazione è una diseguaglianza in cui compare un'espressione letterale (o più) dette incognite, per le quali si va alla ricerca delle soluzioni. Tutti i valori che rendono vera la disuguaglianza vanno a formare l'insieme delle soluzioni.

Esempio

$8x>14+x$

ha come soluzione $S=\{x\in \R | x>2\}$ .

Rappresentazione delle soluzioni

Nelle disequazioni solitamente le soluzioni non sono valori puntuali, bensì intervalli della retta reale. In particolare, presi $a<b$ con $a,b\in\R$ , la natura di tale intervallo può essere:

intervallo limitato, ossia compreso tra due valori specifici $a,b$ , rispettivamente estremo inferiore e superiore dell'intervallo, rappresentato graficamente con un segmento;
intervallo illimitato, ossia un insieme di numeri che anticipano (intervallo illimitato inferiormente) o seguono (intervallo illimitato superiormente) un certo valore $a$ , rappresentato graficamente con una semiretta.

Nel momento in cui tale intervallo viene rappresentato graficamente, il pallino che raffigura gli estremi (se limitato) o l'estremo (se illimitato) può essere:

pieno se quel valore estremo è compreso nell'intervallo;
vuoto se quel valore estremo non è compreso nell'intervallo.

Gli intervalli delle soluzioni si possono anche rappresentare racchiusi entro parentesi quadre, in diverse combinazioni a seconda della tipologia, considerati $a,b\in\R$ , con $a<b$ :

$[a;b]$ : intervallo chiuso, estremi compresi;
$[a;+\infty[$ : intervallo illimitato superiormente;
$]-\infty;b]$ : intervallo illimitato inferiormente.

Esempi

Matematica; Le disequazioni; 2a superiore; Le disequazioni di primo grado

Matematica; Le disequazioni; 2a superiore; Le disequazioni di primo grado

Matematica; Le disequazioni; 2a superiore; Le disequazioni di primo grado

Tipologie di disequazioni

Una disequazione, a seconda della propria composizione, può essere:

intera, se l'incognita non compare a denominatore;
fratta, se l'incognita compare in almeno un denominatore;
numerica, se l'unica lettera che contiene è l'incognita;
letterale, se oltre all'incognita ci sono altre lettere che prendono il nome di parametri.

Esempi

$3x<7+x$ : intera.

$\dfrac{2}{x+3}+8>54$ : fratta.

$5x+6>14$ : numerica intera.

$12ax+3<4a+x$ : letterale.

Forma normale

Considerando un polinomio $P(x)$ ridotto in forma normale, cioè privo di monomi simili, impostandolo come $<0\ \lor>0$ si ottiene una disequazione in forma normale. Inoltre, il grado della disequazione è il grado del polinomio ridotto, ossia il massimo esponente con cui si presenta l'incognita.

In formule: $P(x)>0$ $\lor$ $P(x)<0$ .

Esempio

$9x-3>0$ : disequazione in forma normale.

Disequazioni equivalenti

Due disequazioni si dicono equivalenti se, definite nel medesimo insieme, hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

Primo principio di equivalenza

Aggiungendo ad ambo i membri di una disequazione lo stesso numero o espressione, valida nell'insieme di definizione della disequazione, si ottiene una disequazione equivalente a quella di partenza.

Esempio

$11x+12>3x-4$ ha come soluzione $x>-2$ .

Aggiungendo ad ambo i membri $2x$ si ottiene:

$11x+12+2x>3x+2x-4$ 

$13x+12>5x-4$

$x>-2.$

Secondo principio di equivalenza

Al fine di trasformare una disequazione in un'altra ad essa equivalente è possibile:

se il numero è positivo, moltiplicare o dividere ambo i membri per uno stesso numero positivo;
se il numero è negativo, moltiplicare o dividere ambo i membri per uno stesso numero negativo e cambiare il verso della disequazione.

Esempi

$4x+3>11x+5$

Moltiplicando per $4$ ottengo la disequazione equivalente: $16x+12>44x+20$ .

$7x+1>6x+2$

Moltiplicando per $-2$ ottengo la disequazione equivalente: $-14x-2<-12x-4$ .

Le disequazioni intere

Disequazioni numeriche intere

Al fine di risolvere una disequazione intera di primo grado, è necessario applicare i principi di equivalenza enunciati così da ricondursi, in definitiva, a una delle seguenti forme:

$ax \lesseqgtr b$ .

A seconda del tipo di soluzione, una disequazione di primo grado può essere:

determinata, se esiste una e una sola soluzione;
indeterminata, se esistono infinite soluzioni;
impossibile, se non esistono soluzioni.

procedimento

1.	Porto allo stesso membro i termini con l'incognita
2.	Porto allo stesso membro i termini noti
3.	Sommo i termini simili
4.	Mi riconduco alla forma normale
5.	Soluzione

Esempio

$10x+8<4+4x$

1.	$10x-4x+8<4$
2.	$10x-4x<4-8$
3.	$6x<-4$
4.	$ax<b$
5.	$x<-\dfrac{2}{3}$

Disequazioni letterali intere

Ricondottomi alla forma:

$Ax \lesseqgtr B$ , dove $A,B$ sono termini che non includono l'incognita, ma contenenti al proprio interno altre lettere, dette parametri.

A questo punto occorre studiare il segno di $A$ , poichè si andrà a dividere il termine a secondo membro per questa espressione e, ricordando il secondo principio di equivalenza, la sua natura positiva o negativa influisce sul verso.

Considerando, ad esempio la forma $Ax>B$ :

se $A>0$ , allora $x>\dfrac{B}{A}$ ;
se $A<0$ , allora $x<\dfrac{B}{A}$ ;
se $A=0$ , la disequazione è sempre verificata qualora $B<0$ , altrimenti se $B>0$ la disequazione è impossibile.

Esempio

$4x+9>k(5x+1)$

1.	$4x+9>5kx+k$
2.	$4x-5kx+9>k$
3.	$4x-5kx>k-9$
4.	$x(4-5k)>k-9$
5.	$Ax>B$
6.	$\begin{cases}x&>\dfrac{k-9}{4-5k} \\ 4-5k&>0\end{cases}$
7.	$\begin{cases}x&<\dfrac{k-9}{4-5k}\\ 4-5k&<0\end{cases}$