La radice quadrata, cubica e ennesima

Radice quadrata

La radice quadrata $\sqrt{a}$ di un numero reale $a\geq0$ è quel numero $b\geq0$ che elevato al quadrato è uguale ad $a$ .

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Esempi

$\sqrt{16}=4$ perché $4^2=16$ .

$\sqrt{\dfrac{64}{9}}=\dfrac{8}{3}$ perché $\dfrac{8^2}{3^2}=\dfrac{64}{9}$ .

Nota bene: la condizione $a\ge0$ è fondamentale per l'esistenza della radice quadrata. Non ha senso, infatti, calcolare $\sqrt{-a}$ .

Radice cubica

La radice cubica $\sqrt[3]{a}$ di un numero reale $a$ è quel numero $b$ , avente lo stesso segno di $a$ , che elevato al cubo è uguale ad $a$ .

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Esempi

$\sqrt[3]{64}=4$ perché $4^3=64$ .

$\sqrt[3]{-64}=-4$ perché $(-4)^3=-64$ .

Le funzioni di radice quadrata e radice cubica

Si possono vedere le radici come delle funzioni.

La funzione $y=\sqrt{x}$ ha come dominio $x\geq0$ e come codominio $y\geq0$ e attraverso una sostituzione per punti è possibile ottenere il grafico.

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La funzione $\sqrt[3]{x}$ ha $\Reals$ come dominio e codominio e, anche in questo caso, il grafico è ottenibile mediante una sostituzione per punti.

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Ricorda: dal grafico si nota che $\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$ . Quando si verifica questa condizione ( $f(-x)=-f(x)$ ) si dice che la funzione è dispari.

Radice ennesima

La radice $n$ -esima $\sqrt[n]{a}$ di un numero reale $a$ , con $n\neq0$ e numero naturale, si definisce:

con $a\geq0$ , il numero reale $b\geq0$ la cui potenza $n$ -esima è uguale ad $a$ ;
con $a<0$ e $n$ dispari, il numero reale $b<0$ la cui potenza $n$ -esima è uguale ad $a$ ;
con $a<0$ e $n$ pari, un numero non esistente.

Il numero $n$ è definito indice del radicale e $a$ si chiama radicando.

Esempi

$\sqrt[4]{16}=2$ perché $2^4=16$ .

$\sqrt[3]{-125}=-5$ perché $(-5)^3=-125$ .

$\sqrt{-25}=\text{non esiste}$ .

Nota bene: l'indice $n$ deve essere diverso da $0$ , altrimenti la radice non ha significato.

Le condizioni d'esistenza di un radicale

Se l'indice di radice è pari, il radicale esiste per ogni valore del radicando maggiore o uguale a $0$ .
Se l'indice di radice è dispari, il radicale esiste per ogni valore del radicando appartenente ai numeri reali.