Le equazioni di primo grado

​​Le identità

Un'identità è un'espressione letterale sotto forma di uguaglianza che risulta verificata per qualsiasi valore numerico venga attribuito alle sue lettere.

Esempio

 $$x(y+z)=xy+xz$$ è un'identità.

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Ricorda: il membro a sinistra dell'uguale prende il nome di primo membro, la parte destra, invece, è chiamata secondo membro.

Esempio

​$$b(c+2)=bc+2b$$

Sostituendo, ad esempio, i valori $$b=3$$ e $$c=5$$, si ottiene un uguaglianza:
 $$3(5+2)=21=3\cdot5+2\cdot3=15+6=21$$.

Le condizioni di esistenza

Operando con un'identità, è necessario specificare quali sono le sue condizioni di esistenza (C.E.). Solitamente si lavora all'interno dell'insieme dei numeri reali, di conseguenza, nel caso di termini frazionari, occorre specificare che il denominatore sia diverso da $$0$$. 

Esempi

Per $$x+\dfrac{yz}{z}=x+y$$ l'unica condizione da rispettare è $$z \neq 0$$.

Le equazioni

Definizioni

Un'equazione è un'uguaglianza letterale verificata soltanto per alcuni specifici valori detti soluzioni o radici. Le lettere per le quali si ricercano le soluzioni prendono il nome di incognite, mentre l'insieme numerico all'interno del quale l'equazione esiste si chiama dominio o insieme di definizione dell'equazione. 

Esempio

La soluzione dell'equazione $$7x-4=10$$​ è $$x=2$$ . Infatti, sostituendo tale valore alla parte letterale è resa vera l'uguaglianza: $$7\cdot2-4=14-4=10$$.

I diversi tipi di equazione

Un'equazione di dice:

• intera se l'incognita compare solo nei numeratori;
• fratta se l'incognita appare in almeno un denominatore;
• numerica se è costituita soltanto da numeri oltre all'incognita;
  
• letterale se oltre all'incognita c'è almeno un'altra lettera, che prende il nome di parametro.
  

Esempi

​$$2+\dfrac{x}{2}=x$$ è un'equazione intera.

​$$\dfrac{3}{x}+2=x$$ è un'equazione fratta.

​$$4x-\dfrac{16}{2x}=2x$$ è un'equazione numerica.

​$$(3a-2)x=2ax$$ è un'equazione letterale.

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Le soluzioni dell'equazione

A seconda del numero di soluzioni un'equazione può essere:

• determinata, se ha una sola soluzione;
• indeterminata, se ha un numero infinito di soluzioni;
• impossibile, se non ha soluzioni.
  

Esempi

​$$7x+70=0$$ è determinata perché solo $$x=10$$ rende vera l'uguaglianza.

​$$4x+5x=9x$$ è indeterminata perché qualsiasi valore di $$x$$ rende vera l'uguaglianza.

​$$x+3=x+1$$ è impossibile perché non esiste un valore di $$x$$ che rende vera l'uguaglianza.

Risolvere un'equazione

procedimento

Esempio

Risolvere $$4x+11x=3x+24$$.

Dunque l'insieme delle soluzioni dell'equazione è $$S=\{2\}$$.

Nota bene: a seconda del dominio dell'equazione si possono ottenere insiemi di soluzioni diversi.

Esempio

Se il dominio è $$\mathbb{Q}$$, l'equazione ​ $$4x-1=0$$ ha come soluzione $$a=\dfrac{1}{4}$$, ma se il dominio $$\mathbb{N}$$ la medesima equazione non ha soluzioni perché le frazioni non appartengono all'insieme dei numeri naturali.

La forma normale di un'equazione e il suo grado

Partendo da un polinomio $$P(x)$$ in forma normale, ossia senza monomi simili tra loro, si può ottenere un'equazione scritta in forma normale ponendo tale polinomio uguale a $$0$$.​

Esempio

$$P(x)=gx+c$$  porta a  $$gx+c=0$$.

Il termine privo di incognita prende il nome di termine noto, mentre invece il grado dell'equazione è il grado del polinomio ridotto, quindi corrisponde al numero del maggiore esponente dei termini che lo compongono.

Esempio

In $$2x+7=0$$, $$x$$ è l'incognita, $$7$$ è il termine noto mentre il grado dell'equazione scritta in forma normale è $$1$$.