Introduzione alle funzioni

Definizione

Una funzione $$f$$​ è una relazione, tra un insieme $$A$$ e un insieme $$B$$, che associa ad ogni elemento di $$A$$ uno e un solo elemento di $$B$$.

L'insieme $$A$$​ si chiama dominio della funzione ($$D_f$$​) mentre il sottoinsieme di $$B$$​ è formato dalle immagini degli elementi di $$A$$​​, ovvero i valori associati dalla corrispondenza univoca determinata da $$f$$​, si chiama codominio della funzione $$CD_f$$​.

Esempio Sia il dominio di una funzione: $$D_f= \left \lbrace 2; \dfrac{3}{2}; 1; 0; -\dfrac{1}{2} \right \rbrace$$; applicando la funzione $$f$$ ad ogni elemento di $$D_f$$ si trovano le immagini di $$f$$ che, insieme, formano il codominio di $$f$$ cioè l'insieme $$CD_f$$. ​ ​

Classificazione delle funzioni

Le funzioni si dividono, a seconda del collegamento che $$f$$ definisce tra il dominio e il codominio, in:

• suriettive: ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio;
• iniettive: ogni elemento del codominio è immagine di al più un elemento del dominio;
  
• biunivoche: ogni elemento del codominio è immagine di esattamente un elemento del dominio, le funzioni biunivoche sono cioè sia suriettive che iniettive. 
  Una funzione biunivoca presuppone cioè una corrispondenza biunivoca, cioè una rispondenza da un elemento ad un elemento tra gli insiemi:
   $$f: D_f \leftrightarrow CD_f$$.

Le funzioni si possono scrivere:

• in forma esplicita, del tipo $$y=f(x)$$ come per $$y=3x-5$$​;​
  
• in forma implicita del tipo $$F(x,y)=0$$ come per $$y+5=3x$$.

Le forme esplicite dette funzioni algebriche possono poi essere divise, a seconda del tipo di operazioni algebriche e di variabili, in:

• razionali intere se è espressa tramite polinomi, in particolare se in $$x$$ compare solo il primo grado si dice lineare, se compare solo il secondo quadratica;
  
• razionali fratte se è composta di quozienti di polinomi;
• irrazionali se compare il segno di radice.

Le funzioni numeriche

Le funzioni numeriche sono funzioni dove sia il dominio che il codominio sono insiemi numerici. Se dominio e codominio sono sottoinsiemi di $$\R$$ si dice che la funzione è reale di variabile reale.

La legge che lega dominio e codominio si chiama espressione analitica della funzione.

Il valore $$x$$​ su cui si applica $$f$$ è la variabile indipendente, $$y=f(x)$$ è la variabile dipendente.​

Esempio

​$$f: \R \rightarrow \R$$ definita da $$y=5x-2$$ è una funzione che ad ogni valore reale di $$x$$ associa un numero $$y$$. Nel caso $$x=0$$ restituisce $$y=-2$$.

Il dominio naturale di una funzione

Il dominio $$D$$ di una funzione è l'insieme di tutti i numeri reali per cui hanno senso le operazioni contenute in $$f$$: si chiama dominio naturale o campo di esistenza.

Il codominio $$C$$ è $$\R$$ o un suo sottoinsieme.

Esempio

​$$f(x)= \dfrac {19x-3}{x}$$ non è definita per $$x=0$$, quindi $$D= \R \backslash \lbrace 0 \}$$.

La funzione inversa

Data una funzione biunivoca $$f: A \rightarrow B$$ , $$f^{-1}: B \rightarrow A$$ è la sua funzione inversa che ad ogni elemento $$y$$ in $$B$$ associa $$x$$ in $$A$$ tale che $$y=f(x)$$​.

Se una funzione ammette funzione inversa si dice invertibile.

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Zeri e segno di una funzione

Un numero reale $$a$$ è zero di una funzione $$y=f(x)$$​ se in sua corrispondenza la funzione si annulla, cioè se $$f(a)=0$$.

Sono quindi zeri i punti di intersezione con l'asse delle ascisse.

Per studiare il segno di una funzione bisogna invece risolvere la disequazione $$f(x)>0$$: dove verificata la funzione è positiva, al di fuori di quei valori ha invece segno negativo.

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