I princìpi di equivalenza

Le equazioni equivalenti

Sono dette equivalenti due equazioni che, definite nel medesimo insieme e contenenti le stesse incognite, hanno lo stesso insieme delle soluzioni.   

Ricorda: tale relazione di equivalenza gode della proprietà riflessiva, transitiva e simmetrica.

Esempi

Le equazioni $12(x+2)=12$ e $x^3+3=2$​ hanno entrambe risultato $x=-1$, dunque sono equivalenti. ​

Le equazioni $x^2-1=3$​ e $7x+3=17$ hanno due soluzioni diverse in $\R$​, rispettivamente $x=2, -2$ e $x=2$. Questo implica che, nell'insieme $\mathbb{R}$, non sono equivalenti. 

Nota bene: considerato $\mathbb{N}$ come dominio, l'insieme delle soluzioni della seconda equazione si riduce a $x=2$ perché $x=-2$ non è un numero naturale, perciò le due equazioni si possono definire equivalenti in $\N$​.

Il primo principio di equivalenza

Aggiungendo o sottraendo ambo i membri dell'equazione lo stesso numero o la stessa espressione letterale, definite nello stesso insieme dell'equazione, si ottiene un'equazione equivalente.

Nota bene: il primo principio si può applicare solamente se l'espressione letterale addizionata o sottratta soddisfa le condizioni di esistenza dell'equazione stessa.

Esempio

L'equazione $5x=10$ ha soluzione $x=2$.

Sommando ad entrambi i membri $5$ si ottiene $5x+5=15$ la cui soluzione è sempre $x=2$. Dunque, per il primo principio di equivalenza, le equazioni $5x=10$ e $5x+5=15$ sono equivalenti.​

 Nota bene: è importante che l'espressione che si va ad aggiungere abbia delle condizioni di esistenza che non escludono la soluzione.

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Esempio

L'equazione $3x=12$ ha soluzione $x=4$.

Provando a sommare $\dfrac{1}{x-4}$ ad ambo i membri, bisogna tenere conto della condizione di esistenza $x\ne4$​ della frazione. Questa condizione compromette il risultato dell'equazione di partenza, che era esattamente $x=4$. In conclusione, non si può dire che le equazioni $3x+\dfrac{1}{x-4}=12+\dfrac{1}{x-4}$ e $3x=12$ siano equivalenti.​

Utilizzo

Il primo principio di equivalenza è fondamentale nella risoluzione delle equazioni.

Esempio

$9x-3=5x+1 \to 9x-3+3=5x+1+3 \to 9x=5x+4 \to 9x-5x=5x-5x+4 \to \\ 4x=4 \to x=1$

Grazie ad esso, è possibile trasportare un termine da un membro all'altro, purché gli si cambi il segno, ottenendo un'equazione equivalente.

In formule: $P(x)=B(x)+a$   $\equiv$   $P(x)-a=B(x)$.

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Esempio

​$6x+2=4$ è equivalente a $6x=4-2$.

Inoltre, quando entrambi i membri contengono lo stesso termine questo può essere eliminato: sarebbe come sottrarre/sommare per lo stesso numero ambo i membri.

In formule: $P(x)+a=B(x)+a$   $\equiv$   $P(x)=B(x)$.

Esempio

​$9x+5=18+5$ è equivalente a ​$9x=18$.

Secondo principio di equivalenza

Moltiplicando o dividendo ambo i membri dell'equazione per la stessa espressione numerica o letterale, definita all'interno dello stesso insieme dell'equazione, si ottiene un'equazione equivalente. 

Nota bene: non è possibile dividere per il numero $0$ altrimenti si otterrebbe un denominatore nullo che non è definito. Parallelamente, moltiplicare per $0$ è possibile ma inficia l'ottenimento dell'equivalenza tra le due equazioni.

Esempio

​$\dfrac{3}{4}x=12$ ha come soluzione $x=16$. Moltiplicando ambo i membri per $4$ ottengo: $3x=48$ il cui risultato è sempre $x=16$. 

D'altra parte, provando a moltiplicare per $0$ otterrei $\dfrac{3}{4}x\cdot0=12\cdot0$ ossia $0=0$ che chiaramente non è equivalente all'equazione di partenza.

Utilizzo

Se tutti i termini dell'equazione sono caratterizzati dalla presenza di un fattore comune, dividendo ciascun termine per quel fattore si ottiene un'equazione equivalente.

Suggerimento: se un'equazione ha uno o più coefficienti frazionari, è possibile sommarli e poi moltiplicarli per ridurli a un coefficiente intero.

Esempi

In $4x-24=16x$ ogni termine è divisibile per $4$, dunque è possibile ottenere l'equazione equivalente $x-6=4x$.

$\dfrac{1}{3}x+2=\dfrac{1}{2}x \to\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{2}x=-2 \to \dfrac{2}{6}x-\dfrac{3}{6}x=-2 \to \dfrac{2-3}{6}x=-2 \to -\dfrac{1}{6}x=-2$ 

Moltiplicando per $-6$ ambo i lati si ottiene $x=12$. 

Inoltre, il secondo principio permette di ottenere un'equazione equivalente cambiando il segno a tutti i termini di ambo i termini di un'equazione, moltiplicandoli per $-1$.

In formule: $A(x)=B(x)$   $\equiv$   $-A(x)=-B(x)$.

Esempio

​$4x-5=7x+3$ equivale a $-4x+5=-7x-3$.​