Disequazioni con valore assoluto

​​Sistemi di disequazioni

Un sistema di disequazioni è un sistema all'interno del quale sono presenti almeno due disequazioni con le medesime incognite di cui si ricercano le soluzioni. 

Nota: il numero di incognite deve essere pari o inferiore al numero di disequazioni che costituiscono il sistema, viceversa quest'ultimo risulterà impossibile.

Ricorda: il grado del sistema è il grado della disequazione con il massimo grado che lo compone.

procedimento

Esempio

​$$\begin{cases} 12x-8 & \le 0 \\ 3x+9 & \ge 0 \\ 18x+6&\geq 0\end{cases}$$

1. $$\begin{cases} x & \le \dfrac{2}{3} \\ x& \ge -3 \\ x &\geq -\dfrac{1}{3} \end{cases}$$

2.-3.

​

4. L'insieme delle soluzioni è: $$S=\left\{x\in\R|-\dfrac{1}{3}\leq x \le\dfrac{2}{3}\right\}$$

Disequazioni con valore assoluto

Valore assoluto

Il valore assoluto (o modulo) è un operatore matematico che eguaglia il suo argomento all'argomento stesso se positivo, o al suo opposto se negativo.

In formule: $$|x|=\begin{cases} x & se \ \ x \geq 0 \\ -x &se \ \ x<0\end{cases}$$, dove $$x$$ prende il nome di argomento.

Ricorda: il valore assoluto è sempre positivo.

Esempi

$$|8|=8$$

$$|-71|=71$$

​$$|3x+6|=\begin{cases} 3x+6 & se \ \ x \geq -2 \\ -3x-6 &se\ \ x<-2 \end{cases}$$

Disequazioni con valore assoluto

Sono disequazioni in cui almeno un termine si trova all'interno di un modulo. 

Nota: solitamente, il primo membro è compreso entro valore assoluto, posto in relazione con un secondo membro positivo.

Esempio

​$$|14x+9|>3$$​​

Prima Proprietà

Le disequazioni del tipo $$|P(x)| \geq k$$, con $$k>0$$ hanno come soluzioni $$P(x) \leq-k \ \lor P(x) \geq k$$. 

Esempio

​$$|9x-27|\geq3$$ ha come soluzioni $$9x-27\leq-3 \ \lor 9x-27\geq3$$ da cui $$x\leq \dfrac{8}{3} \ \lor x\geq \dfrac{10}{3}$$​

​

Seconda Proprietà

Le disequazioni del tipo $$|P(x)|<k$$,con $$k>0$$ hanno come soluzioni $$-k \leq P(x)\leq k$$ che sono le soluzioni del sistema $$\begin{cases} P(x) &\geq -k \\ P(x) &< k \\ \end{cases}$$

Esempio

​$$|15x-12|<18$$ ha come soluzioni

$$-18\leq15x-12\leq18$$ da cui

 $$-6\leq15x\leq30$$ 

$$-\dfrac{2}{5}\leq x\leq2$$​