Disequazioni con valore assoluto

Sistemi di disequazioni

Un sistema di disequazioni è un sistema all'interno del quale sono presenti almeno due disequazioni con le medesime incognite di cui si ricercano le soluzioni.

Nota: il numero di incognite deve essere pari o inferiore al numero di disequazioni che costituiscono il sistema, viceversa quest'ultimo risulterà impossibile.

Ricorda: il grado del sistema è il grado della disequazione con il massimo grado che lo compone.

procedimento

1.	Risolvo ogni disequazione del sistema
2.	Costruisco una tabella con i valori orientati, soluzioni delle singole disequazioni
3.	Completo la tabella con delle linee che rappresentano gli intervalli in cui ciascuna disequazione è risolta
4.	Il risultato del sistema è l'intersezione degli insiemi delle soluzioni di ogni disequazione che lo costituisce, dunque l'area della tabella comune a tutti i diversi intervalli

Esempio

$\begin{cases} 12x-8 & \le 0 \\ 3x+9 & \ge 0 \\ 18x+6&\geq 0\end{cases}$

1. $\begin{cases} x & \le \dfrac{2}{3} \\ x& \ge -3 \\ x &\geq -\dfrac{1}{3} \end{cases}$

2.-3.

Matematica; Le disequazioni; 2a superiore; Disequazioni con valore assoluto

4. L'insieme delle soluzioni è: $S=\left\{x\in\R|-\dfrac{1}{3}\leq x \le\dfrac{2}{3}\right\}$

Disequazioni con valore assoluto

Valore assoluto

Il valore assoluto (o modulo) è un operatore matematico che eguaglia il suo argomento all'argomento stesso se positivo, o al suo opposto se negativo.

In formule: $|x|=\begin{cases} x & se \ \ x \geq 0 \\ -x &se \ \ x<0\end{cases}$ , dove $x$ prende il nome di argomento.

Ricorda: il valore assoluto è sempre positivo.

Esempi

$|8|=8$

$|-71|=71$

$|3x+6|=\begin{cases} 3x+6 & se \ \ x \geq -2 \\ -3x-6 &se\ \ x<-2 \end{cases}$

Disequazioni con valore assoluto

Sono disequazioni in cui almeno un termine si trova all'interno di un modulo.

Nota: solitamente, il primo membro è compreso entro valore assoluto, posto in relazione con un secondo membro positivo.

Esempio

$|14x+9|>3$

Prima Proprietà

Le disequazioni del tipo $|P(x)| \geq k$ , con $k>0$ hanno come soluzioni $P(x) \leq-k \ \lor P(x) \geq k$ .

Esempio

$|9x-27|\geq3$ ha come soluzioni $9x-27\leq-3 \ \lor 9x-27\geq3$ da cui $x\leq \dfrac{8}{3} \ \lor x\geq \dfrac{10}{3}$

Seconda Proprietà

Le disequazioni del tipo $|P(x)|<k$ ,con $k>0$ hanno come soluzioni $-k \leq P(x)\leq k$ che sono le soluzioni del sistema $\begin{cases} P(x) &\geq -k \\ P(x) &< k \\ \end{cases}$

Esempio

$|15x-12|<18$ ha come soluzioni

$-18\leq15x-12\leq18$ da cui

$-6\leq15x\leq30$

$-\dfrac{2}{5}\leq x\leq2$