Equazioni numeriche intere

Definizione

Si dicono equazioni numeriche intere le equazioni in cui l'incognita si trova solo al numeratore.

Nota bene: i coefficienti dell'incognita e i termini noti possono essere frazionari! Il termine "intere" si riferisce esclusivamente al fatto che l'incognita non può trovarsi al denominatore di una frazione.

Esempi

$\dfrac{7}{5}x+4=\dfrac{4}{5}$ è un'equazione intera.

$\dfrac{2}{x}+6=-3$ non è un equazione intera.

La risoluzione delle equazioni numeriche intere

Operando con un'equazione di primo grado intera, attraverso l'applicazione dei princìpi di equivalenza, ci si può sempre ricondurre alla forma $ax=b$ , dove $a$ è il coefficiente dell'incognita e $b$ rappresenta il termine noto.

Purché sia $a \neq0$ , la soluzione dell'equazione $ax=b$ è $x=\dfrac{b}{a}$ .

Esempio

Risolvere l'equazione intera lineare $2x+7=x-5+\dfrac{x}{2}$ .

$2x-7=x-5+\dfrac{x}{2}\\2x-x-\dfrac{x}{2}=-5+7\\\dfrac{x}{2}=2\\x=2\cdot 2=4$

Equazioni determinate, indeterminate e impossibili

Ogni equazione di primo grado può essere semplificata nella forma $ax=b$ .

Avendo un'equazione $ax=b$ , in base ai valori assunti da $a$ e $b$ la soluzione dell'equazione può essere di tre tipi: determinata, indeterminata o impossibile.

Determinata

Se $a \neq0$ allora l'equazione si dice determinata e l'unica soluzione è $x=\dfrac{b}{a}$ .

Esempio

L'unica soluzione dell'equazione determinata $4x=3$ è $x=\dfrac{3}{4}$ .

Indeterminata

Se $a=0$ e $b=0$ allora si ottiene un equazione del tipo $0x=0$ .

Tale uguaglianza è verificata qualsiasi sia il valore che assume $x$ , quindi l'equazione ha infinite soluzioni. In questo caso, si dice che l'equazione è indeterminata e l'insieme delle sue soluzioni è tutto $\mathbb{R}$ .

Esempio

L'equazione $4x-4(x-1)-4=0$ si semplifica in $0x=0$ , ed è quindi indeterminata.

Impossibile

Se $a=0$ e $b\neq0$ allora si ottiene un'equazione nella forma $0x=b$ .

Tale uguaglianza non è mai verificata, perché è impossibile trovare un numero che moltiplicato per $0$ sia diverso da $0$ . In questo caso, l'equazione si dice impossibile e l'insieme delle soluzioni è vuoto.

Esempio

$5(x-2)=5x$ equivale a $5x-10=5x$ e quindi a $0x=10$ .

Segue che l'equazione è impossibile.