Equazioni numeriche intere

Definizione

Si dicono equazioni numeriche intere le equazioni in cui l'incognita si trova solo al numeratore.​

Nota bene: i coefficienti dell'incognita e i termini noti possono essere frazionari! Il termine "intere" si riferisce esclusivamente al fatto che l'incognita non può trovarsi al denominatore di una frazione.

Esempi

$$\dfrac{7}{5}x+4=\dfrac{4}{5}$$  è un'equazione intera.

​$$\dfrac{2}{x}+6=-3$$ non è un equazione intera.​

La risoluzione delle equazioni numeriche intere

Operando con un'equazione di primo grado intera, attraverso l'applicazione dei princìpi di equivalenza, ci si può sempre ricondurre alla forma $$ax=b$$, dove $$a$$ è il coefficiente dell'incognita e $$b$$ rappresenta il termine noto.

Purché sia $$a \neq0$$, la soluzione dell'equazione $$ax=b$$​ è $$x=\dfrac{b}{a}$$.

Esempio

Risolvere l'equazione intera lineare $$2x+7=x-5+\dfrac{x}{2}$$.

​$$2x-7=x-5+\dfrac{x}{2}\\2x-x-\dfrac{x}{2}=-5+7\\\dfrac{x}{2}=2\\x=2\cdot 2=4$$​​

Equazioni determinate, indeterminate e impossibili

Ogni equazione di primo grado può essere semplificata nella forma $$ax=b$$.​

Avendo un'equazione $$ax=b$$, in base ai valori assunti da $$a$$ e $$b$$ la soluzione dell'equazione può essere di tre tipi: determinata, indeterminata o impossibile.

Determinata

Se $$a \neq0$$ allora l'equazione si dice determinata e l'unica soluzione è $$x=\dfrac{b}{a}$$.

Esempio

L'unica soluzione dell'equazione determinata $$4x=3$$ è $$x=\dfrac{3}{4}$$.​

Indeterminata

Se $$a=0$$ e $$b=0$$ allora si ottiene un equazione del tipo $$0x=0$$. 

Tale uguaglianza è verificata qualsiasi sia il valore che assume $$x$$, quindi l'equazione ha infinite soluzioni. In questo caso, si dice che l'equazione è indeterminata e l'insieme delle sue soluzioni è tutto $$\mathbb{R}$$.

Esempio

L'equazione $$4x-4(x-1)-4=0$$ si semplifica in $$0x=0$$, ed è quindi indeterminata.

Impossibile

Se $$a=0$$ e $$b\neq0$$ allora si ottiene un'equazione nella forma $$0x=b$$. 

Tale uguaglianza non è mai verificata, perché è impossibile trovare un numero che moltiplicato per $$0$$ sia diverso da $$0$$. In questo caso, l'equazione si dice impossibile e l'insieme delle soluzioni è vuoto.

Esempio

​$$5(x-2)=5x$$ equivale a $$5x-10=5x$$ e quindi a $$0x=10$$.

Segue che l'equazione è impossibile.

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