I polinomi

Definizione

Un polinomio è una somma algebrica di monomi, che prendono il nome di termini del polinomio. In particolare, il termine di grado nullo, cioè costituito solo sa numeri, prende il nome di termine noto.

Nota bene: ogni monomio può essere considerato un polinomio, basta pensarlo come una somma tra se stesso e il monomio nullo.

Ricorda: ​$0$ non è solo il monomio nullo, ma anche il polinomio nullo.

Esempi

​$4a^2b+7bc^3$ è un polinomio, e $4a^2b$ e $7bc^3$ sono i termini del polinomio.

$7x^2y^2$ è un monomio.

​$7x^2y^2+0=7x^2y^2$ può essere pensato come un polinomio.

Riduzione a forma normale

Definizioni

L'addizione o la sottrazione tra monomi non simili, non origina un monomio.

Un polinomio si dice in forma normale se al suo interno non ci sono termini simili.

A seconda del numero di monomi che costituisce un polinomio normale, i polinomi si distinguono in:

• binomio: costituito da due monomi (non simili);
  
• trinomio: costituito da tre monomi (non simili);
• quadrinomio: costituito da quattro monomi (non simili).

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Esempi

​$4a+3b$ è un binomio.

$5x+7yz+9xy$ è un trinomio.

$3a+2bc+4xyz+bx^2$ è un quadrinomio.

Ridurre in forma normale

Se un polinomio possiede termini simili, si svolge la somma algebrica tra questi in modo da ridurlo in forma normale.

Procedimento

Esempio

Ridurre a forma normale il trinomio $7a^2b^3+8xy^4+2a^2b^3$.

Ricorda: due polinomi sono uguali quando i monomi che li compongono sono uguali, indipendentemente dall'ordine in cui appaiono.

Esempio

$4xy+6ab^2$ e $6ab^2+4xy$ sono polinomi uguali.

Gradi di un polinomio ridotto

​​Grado complessivo

Il grado complessivo di un polinomio ridotto è il maggiore tra i gradi dei monomi che lo costituiscono.

Esempio 

Il polinomio $2x^3y^2+5xyz^6$ ha grado $8$ perché il primo monomio ha grado $2+3=5$ e il secondo monomio ha grado $1+1+6=8$​.

Grado rispetto a una lettera

Il grado di un polinomio rispetto a una lettera è il massimo grado di quella lettera in uno dei termini che compongono il polinomio.

Esempio

Il polinomio $3a^3b^5+2b^2+3ab$​ ha grado $5$ rispetto alla lettera $b$​ perché è l'esponente massimo con cui questa compare. 

Grado ordinato

Un polinomio ha grado ordinato rispetto a una lettera se i suoi termini sono disposti in modo che il grado di quella determinata lettera sia in ordine crescente o decrescente.

Esempio

Il polinomio $2a^6b+4a^4b^2+7a^3$ è ordinato rispetto alla lettera $a$.​

Grado completo

Un polinomio ha grado completo rispetto a una lettera se presenta tutti i termini, dal grado massimo fino al grado $0$, per quella determinata lettera.

Esempio

Il polinomio $4x^3y+2-5x^2+7xy^2$ è completo rispetto alla lettera $x$ perché compaiono $x^3,\ x^2,\ x$​ e $2=2x^0$.

Grado omogeneo

Un polinomio ha grado omogeneo se tutti i suoi monomi hanno lo stesso grado. 

Esempio

Il polinomio $5x^2y^2+4a^3b-9xy^3$ è omogeneo perché ciascuno dei monomi che lo compone ha grado $4$.​