Scomposizione in fattori dei polinomi
Fattorizzazione
L'azione di scomporre in fattori un polinomio, anche detta fattorizzazione, consiste nello riscrivere il polinomio come prodotto di diversi polinomi di grado inferiore, i quali, se moltiplicati tra loro, riconducono al polinomio di partenza.
Esempio
Il polinomio a3+a2 può essere riscritto come a2⋅(a+1).
Definizioni
Un polinomio viene definito riducibile se può essere riscritto sotto forma di prodotto tra vari polinomi di grado inferiore. Se, invece, non si può in alcun modo riscrivere come prodotto di polinomi, si dice irriducibile.
Metodi di scomposizione
Raccoglimento a fattor comune
Il primo dei metodi per scomporre in fattori un polinomio è il raccoglimento a fattor comune che si fonda sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.
procedimento
1.
| Individuo il MCD tra i termini del polinomio
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2.
| Divido ogni termine del polinomio per il MCD trovato, che rappresenta il "fattor comune"
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3.
| Esprimo il polinomio come un prodotto tra il fattor comune e la somma algebrica dei quozienti trovati al punto 2.
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Esempio
2x2+3x3y+4x4y2
1.
| x2 è il termine comune a tutti i termini del polinomio, MCD
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2.
| 2x2:x2=2;3x3y:x2=3xy;4x4y2:x2=4x2y2
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3.
| 2x2+3x3y+4x4y2=x2⋅(2+3xy+4x2y2)
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Raccoglimento parziale
Il raccoglimento parziale è un metodo di scomposizione che avviene in due fasi, in cui si raccoglie prima un termine comune solo a una parte dei componenti del polinomio, per poi riconoscerne un altro comune a ogni termine. Ti mostro come si procede in un caso generale.
procedimento
Sia P=xy+xz+ay+az+by+bz.
1.
| Raccolgo la x tra i primi due termini: xy+xz=x⋅(y+z) |
2.
| Raccolgo la a tra il terzo e il quarto termine: ay+az=a⋅(y+z)
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3.
| Raccolgo la b tra il quinto e il sesto termine: by+bz=b⋅(y+z)
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4.
| Riconosco che y+z è comune ai termini definiti in 1. , 2. e 3. ,quindi lo posso raccogliere
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5. | Riscrivo il polinomio come P=(x+a+b)⋅(y+z)
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Esempio
x3+2x2y−4xy+8y2
1. | Raccolgo x2 ai primi due termini
| x2(x+2y)
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2. | Raccolgo 4y al terzo e quarto termine
| 4y(x+2y)
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3. | Raccolgo i termini simili e ottengo il polinomio finale
| (x2−4y)(x+2y)
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Scomposizione riconducibile ai prodotti notevoli
Partendo da polinomi che sono lo svolgimento di prodotti notevoli, è possibile riscriverli sotto forma del prodotto notevole stesso.
In formule:
A2−B2=(A+B)(A−B)
| Somma per differenza |
A2+2AB+B2=(A+B)2
| Quadrato di un binomio (+)
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A2−2AB+B2=(A−B)2 | Quadrato di un binomio (-) |
A2+B2+C2+2AB+2BC+2AC=(A+B+C)2
| Quadrato di un trinomio
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A3+B3+3A2B+3AB2=(A+B)3
| Cubo di un binomio (+) |
A3−B3−3A2B+3AB2=(A−B)3 | Cubo di un binomio (-) |
Esempi
9a2−b2=(3a+b)(3a−b)
| Somma per differenza
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4x2+4xy+y2=(2x+y)2
| Quadrato di un binomio
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9a2+b2+4c2+6ab+4bc+12ac=(3a+b+2c)2
| Quadrato di un trinomio
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x3+27y3+9x2y+27xy2=(x+3y)3
| Cubo di un binomio
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Scomposizione di particolari trinomi di secondo grado
Un trinomio del tipo x2+sx+p si può scomporre come segue:
x2+sx+p=(x+a)(x+b), dove s=a+b e p=ab.
dimostrazione
x2+(a+b)x+ab=x2+ax+bx+ab=x(x+a)+b(x+a)=(x+b)(x+a)
Esempio
x2+4x+3=(x+3)(x+1)
Nota bene: il segreto risolutivo è proprio quello di riuscire a identificare, dal polinomio di partenza, due numeri che possano dare il termine noto se moltiplicati e il coefficiente della x se sommati.
Scomposizione con Ruffini
Se nessuno dei precedenti metodi vale, puoi provare a scomporre usando Ruffini. In generale, considerando quanto tempo prende Ruffini, conviene prima provare tutti gli altri metodi, poi solo alla fine provare Ruffini.
Nota bene: ci sono anche polinomi che non si possono scomporre! Guarda ad esempio x2+1,x2+x+1,4x2+5 e altri ancora!
