Studio del segno

Quando bisogna risolvere una disequazione che coinvolge una moltiplicazione tra due fattori, è bene ricorrere alla cosiddetta tecnica dello studio del segno.

In formule: $A(x)\cdot B(x)>0$

procedimento

1.	Analizzo le variazioni del segno di ciascun fattore in funzione del valore della $x$ : ponendo $A(x)>0, \ B(x)>0$
2.	Costruisco una tabella di valori orientati, scrivendo un $+$ negli intervalli in cui quel fattore assume valori positivi, un $-$ in caso contrario
3.	Ricordando la regola dei segni, moltiplico i segni nella colonna di ogni intervallo e scrivo il segno risultate in basso
4.	Scelgo gli intervalli che rispettano la condizione di $>$ o $<$ richiesta dalla disequazione iniziale

Nota: la stessa tecnica si può adottare anche per la risoluzione delle equazioni fratte, dove al posto dei fattori, si studia il segno del numeratore e del denominatore.

Ricorda: la regola dei segni afferma che: $-\cdot-=+; \ -\cdot+=-; \ +\cdot+=+.$ 

Esempio

$(5x+7)(4-2x)>0$

1a.	Studio il segno del primo fattore: $5x+7>0$ da cui $x>-\dfrac{7}{5}$
1b.	Studio il segno del secondo fattore: $4-2x>0$ da cui $x<2$
2.	Costruisco la tabella seguente, scrivendo un $+$ negli intervalli numerici in cui il fattore assume valori positivi, appena calcolati, $-$ altrimenti
3.	Applicando la regola dei segni, identifico gli intervalli che, complessivamente, sono positivi, come richiesto dalla disequazione iniziale

In definitiva, la soluzione alla disequazione $(5x+7)(4-2x)>0$ si può scrivere in due modi ed è:

$\left]-\dfrac{7}{5};2\right[$
$-\dfrac{7}{5}<x<2$ con $x\in\R$

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