Particolari funzioni numeriche

A seconda di come si scrivono, le funzioni numeriche si contraddistinguono anche per il legame che si crea tra le variabili $x$ e $y$ .

Dato un numero $k \isin R \backslash \{ 0\}$ :

Proporzionalità diretta	$y=kx$
Proporzionalità inversa	$y = \dfrac {k}{x}$
Proporzionalità quadratica	$y=kx^2$
Funzione lineare	$y=ax+b$ con $a,b \isin \R$
Funzione costante	$y=m$ con $m \isin \R$

Proporzionalità diretta

Si dice che le variabili $x$ e $y$ sono tra loro direttamente proporzionali, poiché se aumenta, o diminuisce, il valore di una aumenta, o diminuisce, anche il valore dell'altra.

Due variabili direttamente proporzionali hanno rapporto cosante: $\dfrac {y}{x}=k$ .

Il grafico di una funzione di proporzionalità diretta è una retta passante per l'origine.

Esempio

Sia $f: \R \rightarrow \R$ definita dalla legge $y=3x$ , definendola per punti ed escludendo la coppia $(0;0)$ si ottengono: $\{(1;3);(2;6);(3;9);(4;12);...\}$ . Il rapporto $\dfrac {y}{x}$ è sempre uguale a $3$ e all'aumentare di $x$ aumenta anche il valore di $y$ .

Proporzionalità inversa

Si dice che le variabili $x$ e $y$ sono tra loro inversamente proporzionali, poiché se aumenta l'una l'altra diminuisce e viceversa. Due variabili inversamente proporzionali hanno prodotto cosante $x \cdot y =k$ . Il grafico di una funzione di proporzionalità inversa è una iperbole equilatera.

Esempio

Sia $f: \R \rightarrow \R$ definita dalla legge $y= \dfrac {3}{x}$ con $x \not= 0$ , per punti si ottengono: $\{(1;3);(2;1,5);(3;1);(4;0,75);... \}$ . Il prodotto ${x} \cdot{y}$ è sempre uguale a $3$ e all'aumentare di $x$ diminuisce il valore di $y$ .

Proporzionalità quadratica

Si dice che tra le variabili $x$ e $y$ c'è proporzionalità quadratica se la funzione è del tipo: $y=kx^2$ cioè se $x$ compare elevata al quadrato.

Il grafico di una funzione di proporzionalità quadratica è una parabola con vertice nell'origine.

Esempio

Sia $f: \R \rightarrow \R$ definita dalla legge $y=3x^2$ , per punti troviamo il vertice in $(0;0)$ e si ottengono: $\{(1;3);(-1;3);(2;12);(-2;12);...\}$ , cioè per ascisse uguali a meno del segno si ottiene lo stesso valore dell'ordinata.

Funzione lineare

Si dice che una funzione è lineare se è del tipo: $y=ax+b$ con $a,b \isin \R$ con $a$ che si chiama coefficiente angolare e $b$ termine noto.

Il grafico di una funzione lineare si ottiene da quello della proporzionalità diretta, cioè una retta, che viene traslata a seconda del temine noto.

Esempio

Sia $f: \R \rightarrow \R$ definita dalla legge $y=3x+1$ , per punti troviamo: $\{(1;4);(2;7);(3;10);(4;13)...\} = \{(1;3+1);(2;6+1);(3;9+1);(4;12+1);...\}$ , cioè gli stessi valori delle coppie che si ottengono dalla proporzionalità diretta della funzione $y=3x$ ma aggiungendo $b=1$ .

Funzione costante

Si dice che una funzione è costante se è del tipo: $y=m$ con $m \isin \R$ , significa che qualsiasi sia il valore della $x$ , il valore della $y$ non cambia e vale $m$ .

Il grafico di una funzione costante è una retta parallela all'asse delle ascisse che interseca l'asse delle ordinate in $y=m$ .

Funzioni definite a tratti

Sono funzioni definite a tratti le funzioni che si compongono di diverse funzioni analitiche su parti diverse e limitate del proprio dominio.

Esempio

Matematica; Funzioni lineari; 1a superiore; Particolari funzioni numeriche

Sia $f(x)$ definita su $D= [0; + \infin)$ e:

f(x)=3x+5

se

x \isin [0;2)

f(x)=3x^2

se

x \isin [2; + \infin )