Particolari funzioni numeriche

A seconda di come si scrivono, le funzioni numeriche si contraddistinguono anche per il legame che si crea tra le variabili $$x$$ e $$y$$. 

Dato un numero  ​$$k \isin R \backslash \{ 0\}$$​ :

Proporzionalità diretta

Si dice che le variabili $$x$$ e $$y$$ sono tra loro direttamente proporzionali, poiché se aumenta, o diminuisce, il valore di una aumenta, o diminuisce, anche il valore dell'altra. 

Due variabili direttamente proporzionali hanno rapporto cosante: $$\dfrac {y}{x}=k$$.

Il grafico di una funzione di proporzionalità diretta è una retta passante per l'origine.

Esempio

​Sia $$f: \R \rightarrow \R$$ definita dalla legge ​$$y=3x$$, definendola per punti ed escludendo la coppia $$(0;0)$$ si ottengono: $$\{(1;3);(2;6);(3;9);(4;12);...\}$$. Il rapporto $$\dfrac {y}{x}$$ è sempre uguale a $$3$$ e all'aumentare di $$x$$ aumenta anche il valore di $$y$$.

Proporzionalità inversa

​Si dice che le variabili $$x$$​ e $$y$$​ sono tra loro inversamente proporzionali, poiché se aumenta l'una l'altra diminuisce e viceversa. Due variabili inversamente proporzionali hanno prodotto cosante $$x \cdot y =k$$. Il grafico di una funzione di proporzionalità inversa è una iperbole equilatera.​

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Esempio

​Sia $$f: \R \rightarrow \R$$ definita dalla legge ​$$y= \dfrac {3}{x}$$ con $$x \not= 0$$​, per punti si ottengono: $$\{(1;3);(2;1,5);(3;1);(4;0,75);... \}$$. Il prodotto $${x} \cdot{y}$$ è sempre uguale a $$3$$ e all'aumentare di $$x$$ diminuisce il valore di $$y$$.

Proporzionalità quadratica

Si dice che tra le variabili $$x$$ e $$y$$ c'è proporzionalità quadratica se la funzione è del tipo: $$y=kx^2$$ cioè se $$x$$ compare elevata al quadrato.

Il grafico di una funzione di proporzionalità quadratica è una parabola con vertice nell'origine.

Esempio

​Sia $$f: \R \rightarrow \R$$ definita dalla legge ​$$y=3x^2$$, per punti troviamo il vertice in $$(0;0)$$ e si ottengono: $$\{(1;3);(-1;3);(2;12);(-2;12);...\}$$, cioè per ascisse uguali a meno del segno si ottiene lo stesso valore dell'ordinata.

Funzione lineare

Si dice che una funzione è lineare se è del tipo:  $$y=ax+b$$ con $$a,b \isin \R$$ con $$a$$ che si chiama coefficiente angolare e $$b$$ termine noto. 

Il grafico di una funzione lineare si ottiene da quello della proporzionalità diretta, cioè una retta, che viene traslata a seconda del temine noto.

Esempio

​Sia $$f: \R \rightarrow \R$$ definita dalla legge ​$$y=3x+1$$, per punti troviamo: $$\{(1;4);(2;7);(3;10);(4;13)...\} = \{(1;3+1);(2;6+1);(3;9+1);(4;12+1);...\}$$, cioè gli stessi valori delle coppie che si ottengono dalla proporzionalità diretta della funzione $$y=3x$$ ma aggiungendo $$b=1$$.

Funzione costante

Si dice che una funzione è costante se è del tipo:  $$y=m$$ con $$m \isin \R$$, significa che qualsiasi sia il valore della $$x$$, il valore della $$y$$ non cambia e vale $$m$$.​

Il grafico di una funzione costante è una retta parallela all'asse delle ascisse che interseca l'asse delle ordinate in $$y=m$$.​

Funzioni definite a tratti

Sono funzioni definite a tratti le funzioni che si compongono di diverse funzioni analitiche su parti diverse e limitate del proprio dominio.

Esempio

Sia $$f(x)$$ definita su $$D= [0; + \infin)$$ e: ​$$f(x)=3x+5$$ se $$x \isin [0;2)$$​ ​$$f(x)=3x^2$$​ se $$x \isin [2; + \infin )$$​