Le operazioni e le loro proprietà

​​Addizione

L'addizione è la prima operazione fondamentale dell'aritmetica. Coinvolge due o più operandi definiti addendi generando un risultato chiamato somma.

I segni nell'addizione

La somma di due numeri concordi è un numero che ha per valore assoluto la somma tra i valori assoluti dei due addendi e per segno lo stesso segno dei due addendi.

Esempi

​$2+4=6$​​

​$-7+(-3)=-10$

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La somma di due numeri discordi è un numero che ha per valore assoluto la differenza tra il maggiore e il minore valore assoluto degli addendi e per segno lo stesso segno dell'addendo con valore assoluto maggiore.

Esempio

​$+7+(-8)=-1$

La somma di due numeri opposti è uguale a $0$.

Esempio

​$+5+(-5)=0$

Proprietà commutativa

Cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia.

Esempio

​$6+3=3+6$

​

Proprietà associativa

Associando diversamente gli addendi, lasciando invariato il loro ordine, la somma dei numeri non cambia.

Esempio

​$(2+7)+4=2+(7+4)$

Sottrazione

La sottrazione è la seconda operazione fondamentale dell'aritmetica e può essere vista come l'operazione inversa dell'addizione. Coinvolge due operandi, il primo definito minuendo e il secondo sottraendo, generando un risultato chiamato differenza. 

La differenza di due numeri interi è la somma del minuendo con l'opposto del sottraendo.

Esempio

​$+12-(-5)=+12+5=+17$

Proprietà invariantiva

Aggiungendo o togliendo una stessa quantità a minuendo e sottraendo, il risultato non cambia.

Esempio

​$9-3=6$ e $(9+4)-(3+4)=13-7=6$

Moltiplicazione

La moltiplicazione è la terza operazione fondamentale dell'aritmetica. Coinvolge due o più operandi definiti fattori generando un risultato chiamato prodotto. 

Il prodotto di due numeri interi è un intero che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti e per segno il segno positivo se i fattori sono concordi o negativo se sono discordi, secondo la regola dei segni.

Esempio

​$+4\cdot (-5)=-20$

Proprietà commutativa

Cambiando l'ordine dei fattori il prodotto non cambia.

Esempio

​$+6\cdot(-3)=-3\cdot (+6)$

Proprietà associativa

Associando diversamente i fattori, lasciando invariato il loro ordine, il prodotto dei numeri non cambia.

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Esempio

​$(4\cdot 3)\cdot 2=4\cdot (3\cdot 2)$

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Proprietà distributiva

Moltiplicando un numero per una somma (o una differenza), il risultato non cambia se si moltiplica quel numero per ciascuno dei fattori dell'addizione (o sottrazione).

Esempio

$2\cdot (4+5)=2\cdot 9=18$ è equivalente a $2\cdot (4+5) = (2\cdot 4)+(2\cdot 5)=8+10=18$

Divisione

La divisione è la quarta operazione fondamentale dell'aritmetica. Coinvolge due operandi, il primo definito definito dividendo e il secondo divisore, generando un risultato chiamato quoziente. Può essere pensata come l'operazione inversa della moltiplicazione tra due numeri.

Il quoziente di due numeri interi, quando il dividendo è multiplo del divisore e il divisore diverso da $0$, è un numero intero che ha per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti di dividendo e divisore e per segno il segno stabilito dalla regola dei segni.

Nota bene: il divisore deve essere sempre diverso da $0$​ altrimenti la divisione non ha significato.

Nota bene: la divisione in cui dividendo e divisore sono entrambi pari a $0$ è un'operazione non definita.

Proprietà invariantiva

Moltiplicando o dividendo una stessa quantità a dividendo e divisore, il risultato non cambia.

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Esempio

​$30:5=6$ e ​$(30\cdot 2):(5\cdot 2)=60:10=6$

Proprietà distributiva

Dividendo una somma (o una differenza) per un numero, il risultato non cambia se si divide ciascuno dei fattori dell'addizione o sottrazione.

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Esempio

$(26-4):2=22:2=11$ è equivalente a $(26-4):2=(26:2)-(4:2)=13-2=11$

Il numero $0$ nelle operazioni

Addizione e sottrazione

Nelle operazioni di addizione e sottrazione lo $0$​ è considerato numero neutro perché l'addizione o sottrazione dello $0$ a un qualsiasi numero dà come risultato il numero stesso.

Esempio

​$8+0=8$

Moltiplicazione

Nella moltiplicazione vale la legge dell'annullamento del prodotto, per cui basta che vi sia un fattore pari a $0$ affinché il prodotto di una moltiplicazione sia $0$.

Esempio

​$1000\cdot 300\cdot 0=0$

Divisione

La divisione con divisore uguale a $0$ non è possibile.

La divisione con dividendo uguale a $0$ è pari a $0$.

Esempi

​$7:0$ è impossibile.

$0:7=0$

Il numero $1$ nelle operazioni

Moltiplicazione e divisione

Nella moltiplicazione e nella divisione il numero $1$ è considerato numero neutro perché un qualsiasi numero moltiplicato o diviso per $1$ dà come risultato sé stesso.​

Esempi

$65\cdot 1=65$

​$34:1=34$​​