I prodotti notevoli    

​​Definizione

Esistono dei casi particolari di moltiplicazione tra polinomi che possono essere risolti direttamente, senza svolgere molti calcoli, utilizzando delle identità chiamate prodotti notevoli. I prodotti notevoli più utilizzati riguardano il quadrato o cubo di un binomio o trinomio e il prodotto tra somma e differenza di due fattori.

Somma per differenza

Il risultato del prodotto tra la somma di due monomi e la loro differenza è pari al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio.

In formule: $(A+B)\cdot(A-B)= A^2-B^2$

Esempio

​$(2a+5b)\cdot(2a-5b)=(2a)^2-(5b)^2=4a^2-25b^2$.

Svolgendo il prodotto in forma estesa, ottengo lo stesso risultato:

​$(2a+5b)\cdot(2a-5b)=4a^2-10ab+10ab-25b^2=4a^2-25b^2$

Quadrato di un binomio

Il risultato del quadrato del binomio è un trinomio che ha come termini il quadrato del primo termine, il doppio prodotto tra i due termini, e il quadrato del secondo termine.

In formule per la somma: $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$  

In formule per la differenza: $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$​​

Esempio

​$(3x+4y)^2=(3x)^2+(2\cdot3\cdot4xy)+(4y)^2=9x^2+24xy+16y^2$.​

Svolgendo il prodotto in forma estesa, ottengo lo stesso risultato:

$(3x+4y)\cdot(3x+4y)=9x^2+3\cdot4xy+4\cdot3xy+16y^2=9x^2+24xy+16y^2$

Quadrato di un trinomio

Il risultato del quadrato di un trinomio è un polinomio composto dai quadrati di ogni monomio e dai doppi prodotti delle varie coppie di monomi possibili.

In formule per la somma: $(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC$  

In formule per la differenza:  $(A-B+C)^2=A^2+B^2+C^2-2AB+2AC-2BC$​​

Esempio

​$(2x+y+4z)^2=4x^2+y^2+16z^2+2\cdot2xy+2\cdot2\cdot4xz+2\cdot4yz=4x^2+y^2+16z^2+4xy+16xz+8yz$

Cubo di un binomio

Il risultato del cubo di un binomio è un quadrinomio che ha come termini i cubi dei monomi che compongono il binomio, il triplo prodotto tra il quadrato del primo termine e il secondo termine, e il triplo prodotto tra il primo termine e il quadrato del secondo termine.

In formule per la somma: $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$

In formule per la differenza: $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$​​

Esempio

​$(2x+3y)^3=8x^3+3\cdot4x^2\cdot3y+3\cdot2x\cdot9y^2+27y^3=8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3$

Somma e differenza di cubi

La somma e la differenza di due cubi si possono scrivere come prodotto tra un binomio e un trinomio chiamato falso quadrato.

In formule per la somma: $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$

In formule per la differenza: $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$

Ricorda: i trinomi $A^2-AB+B^2$​ e $A^2+AB+B^2$ si chiamano falsi quadrati perché ricordano la struttura del quadrato di un binomio ma in realtà non hanno il doppio prodotto che li renderebbe tali.

Esempio

​$64x^3+y^3=(4x+y)(16x^2-4xy+y^2)$

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