Equazioni logaritmiche Definizione Un'equazione si definisce logaritmica nel momento in cui uno o più termini logaritmici contengono l'incognita all'interno del proprio argomento.
Inoltre, è necessario imporre le condizioni di esistenza date dai logaritmi:
a > 0 , a ≠ 1 , P ( x ) > 0 , Z ( x ) > 0 a>0,a\neq1,P(x)>0, Z(x)>0 a > 0 , a = 1 , P ( x ) > 0 , Z ( x ) > 0
In formule: log a P ( x ) = log a Z ( x ) \log_{a}{P(x)}=\log_{a}{Z(x)} log a P ( x ) = log a Z ( x )
Nota bene: essendo un'equazione, valgono i principi e le regole che riguardano il mondo delle equazioni.
Esempio log 3 ( x + 9 ) = log 3 ( − x + 15 ) \log_{3}{(x+9)}=\log_{3}{(-x+15)} log 3 ( x + 9 ) = log 3 ( − x + 15 )
Equazioni logaritmiche elementari Questo rappresenta il caso base, a cui si riconducono altri metodi per risolvere le disequazioni logaritmiche.
procedimento 1.
Controllo che i logaritmi in questione abbiano la stessa base:
log a P ( x ) = log a Z ( x ) \log_{a}{P(x)}=\log_{a}{Z(x)} log a P ( x ) = log a Z ( x )
2.
Stabilisco le condizioni di esistenza: a > 0 , a ≠ 1 , P ( x ) > 0 , Z ( x ) > 0 a>0,a\neq1,P(x)>0, Z(x)>0 a > 0 , a = 1 , P ( x ) > 0 , Z ( x ) > 0
3.
Pertanto, affinchè siano uguali, è sufficiente che abbiano lo stesso argomento: P ( x ) = Z ( x ) P(x)=Z(x) P ( x ) = Z ( x )
4.
Calcolo il valore dell'incognita usando, eventualmente, le proprietà dei logaritmi
5.
Confronto i risultati ottenuti con le C.E. per valutarne l'accettabilità.
Esempio log 4 ( x + 16 ) = log 4 ( 2 x − 18 ) \log_{4}{(x+16)}=\log_{4}{(2x-18)} log 4 ( x + 16 ) = log 4 ( 2 x − 18 )
1.
log 4 ( x + 16 ) = log 4 ( 2 x − 18 ) \log_{4}{(x+16)}=\log_{4}{(2x-18)} log 4 ( x + 16 ) = log 4 ( 2 x − 18 )
2.
C.E: { x + 16 > 0 2 x − 18 > 0 \begin{cases} x+16 &> 0 \\ 2x-18&> 0 \\ \end{cases} { x + 16 2 x − 18 > 0 > 0 ⟶ \longrightarrow ⟶ { x > − 16 x > 9 \begin{cases} x &> -16 \\ x&>9 \\ \end{cases} { x x > − 16 > 9 ⟶ \longrightarrow ⟶ x > 9 x>9 x > 9
3.
x + 16 = 2 x − 18 x+16=2x-18 x + 16 = 2 x − 18
4.
x = 34 x=34 x = 34
5.
x = 34 > 9 x=34>9 x = 34 > 9 quindi il risultato è accettabile
Equazioni logaritmiche fratte o con il prodotto Quando un'equazione logaritmica è fratta o si può trasformare in un prodotto si può applicare questo procedimento.
procedimento 1.
Portare tutto a sinistra del simbolo di uguale, lasciando lo zero a destra.
2.
Porre le condizioni di esistenza
3.
Raccogliere a fattor comune ed eliminare il denominatore
4.
Risolvere il numeratore secondo i passi illustrati per il caso elementare
5.
Verificare la concordanza con le condizioni di esistenza
Esempio Risolvere l'equazione ln ( x + 1 ) ln ( 2 x − 1 ) = 2 \dfrac{ \ln{(x+1)}}{\ln{(2x-1)}}=2 ln ( 2 x − 1 ) ln ( x + 1 ) = 2
1.
ln ( x + 1 ) ln ( 2 x − 1 ) − 2 = 0 \dfrac{ \ln{(x+1)}}{\ln{(2x-1)}}-2=0 ln ( 2 x − 1 ) ln ( x + 1 ) − 2 = 0
2.
C . E = { x + 1 > 0 2 x − 1 > 0 → { x > − 1 x > 1 2 → x > 1 2 C.E = \begin{cases} x+1>0 \\ 2x-1>0\end{cases} \to \begin{cases} x>-1 \\ x> \dfrac{1}{2}\end{cases} \to x> \dfrac{1}{2} C . E = { x + 1 > 0 2 x − 1 > 0 → ⎩ ⎨ ⎧ x > − 1 x > 2 1 → x > 2 1
3.
ln ( x + 1 ) − 2 [ ln ( 2 x − 1 ) ] = 0 \ln(x+1)-2[\ln(2x-1)]=0 ln ( x + 1 ) − 2 [ ln ( 2 x − 1 )] = 0
4.
ln ( x + 1 ) = ln ( 2 x − 1 ) 2 x + 1 = 4 x 2 + 1 − 4 x → 4 x 2 − 5 x = 0 { x = 0 x = 5 4 \ln(x+1)=\ln(2x-1)^2 \\ x+1=4x^2+1-4x \to 4x^2-5x=0 \\ \begin{cases}x=0 \\ x= \dfrac{5}{4} \end{cases} ln ( x + 1 ) = ln ( 2 x − 1 ) 2 x + 1 = 4 x 2 + 1 − 4 x → 4 x 2 − 5 x = 0 ⎩ ⎨ ⎧ x = 0 x = 4 5
5.
Intersecando con le condizioni di esistenza la soluzione accettabile è solamente x = 5 4 x=\dfrac{5}{4} x = 4 5
Metodo di sostituzione Di solito questo metodo è utile quando ad esempio c'è un logaritmo elevato al quadrato o al cubo o a potenze maggiori.
procedimento 1.
Portare ogni algoritmo alla stessa base, lasciando che possano assumere esponenti diversi
2.
Porre le condizioni di esistenza
3.
Introdurre la variabile
t t t e porla uguale al logaritmo con la stessa base e argomento, con esponente minore
4.
Risolvere l'equazione algebrica ottenuta
5.
Risostituire con il logaritmo iniziale, risolvendo le equazioni logaritmiche elementari che si vengono a formare
6.
Verificare la concordanza con le condizioni di esistenza
Esempio Risolvere l'equazione log 2 x − 7 log x + 12 = 0 \log^2x-7 \log x +12=0 log 2 x − 7 log x + 12 = 0
1.
I logaritmi sono già ridotti alla stessa base
2.
C . E : x > 0 C.E: \ x>0 C . E : x > 0
3.
t = log x t= \log x t = log x
4.
t 2 − 7 t + 12 = 0 { t = 3 t = 4 t^2-7t+12=0 \\ \begin{cases} t=3 \\ t=4 \end{cases} t 2 − 7 t + 12 = 0 { t = 3 t = 4
5.
x 12 = { log x = 3 log x = 4 = { log x = log 1 0 3 log x = log 1 0 4 = { x = 1 0 3 x = 1 0 4 x_{12}= \begin{cases} \log x=3 \\ \log x=4 \end{cases}=\begin{cases} \log x= \log 10^3 \\ \log x= \log 10^4 \end{cases}=\begin{cases} x=10^3 \\ x=10^4 \end{cases} x 12 = { log x = 3 log x = 4 = { log x = log 1 0 3 log x = log 1 0 4 = { x = 1 0 3 x = 1 0 4
6.
Entrambe le soluzioni sono positive, e soddisfano la condizione di esistenza. Pertanto sono entrambe valide
