Disequazioni logaritmiche

​​Definizione

Si ha una disequazione logaritmica quando c'è l'incognita $$x$$ nell'argomento di un logaritmo. Ci sono vari metodi per risolverle, qui ne vediamo tre piuttosto frequenti negli esercizi.

Ricorda:

• $$\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$$
  
• $$\log_ab - \log_a c= \log_a \left( \dfrac{b}{c}\right)$$
  
• $$\log_a b^n= n \log_ab$$
  
• $$\log_ab= \dfrac{\log_c b}{\log_ca}$$
• Condizioni di esistenza: l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero.

Disequazioni logaritmiche elementari

Questo rappresenta il caso base, a cui si riconducono altri metodi per risolvere le disequazioni logaritmiche.

procedimento

Esempio

​$$\log_2 (2x-3) < 4 \ \ \ \ \ \log_2(2x-3) < \log_2 2^4 \\CE: 2x-3>0 \ \ \ x>\dfrac{3}{2} \\2x-3<16 \ \ \ \ \ \ x< \dfrac{19}{2} \\\begin{cases} x<\dfrac{19}{2} \\ x>\dfrac{3}{2}\end{cases} \ \ \ \Rightarrow \dfrac{3}{2} < x < \dfrac{19}{2}$$​​

Disequazioni logaritmiche fratte o con il prodotto

Quando una disequazione logaritmica è fratta o si può trasformare in un prodotto si può applicare questo procedimento.

procedimento

Esempio

​$$\dfrac{\ln x + 1}{\ln(2x-1)}>0\\Numeratore: \ln x +1 >0, \ln x >-1, \ln x > \ln e^{-1}, x>e^{-1}\\Denominatore: \ln(2x-1) >0, \ln(2x-1)>\ln e^0, 2x-1>1, 2x>2, x>1\\CE: \begin{cases} x>0 \\ 2x-1>0\end{cases} \Rightarrow x>\dfrac{1}{2}$$

Disegnando lo schema dei segni e intersecandolo con le condizioni di esistenza si ottiene che la soluzione è $$x > 1$$.

Metodo di sostituzione

Di solito questo metodo è utile quando ad esempio c'è un logaritmo elevato al quadrato o al cubo o a potenze maggiori.

procedimento

Esempio

​$$\log^2x -7\log x +12 <0\\t=\log x \Rightarrow t^2-7t+12<0 \\3<t<4\\CE: x>0\\3<\log x < 4, \log 10^3 < \log x <\log 10^4, 10^3 < x < 10^4$$​​