Teoremi sui triangoli rettangoli e applicazioni

Teoremi sui triangoli rettangoli

Matematica; Goniometria e Trigonometria; 3a superiore; Teoremi sui triangoli rettangoli e applicazioni

Primo teorema dei triangoli rettangoli

Dalle relazioni tra funzioni goniometriche e lati di un triangolo rettangolo, visti nella circonferenza goniometrica, sai che:

il lato opposto a un angolo è uguale al prodotto tra l'ipotenusa e il seno dell'angolo;
il lato adiacente a un angolo è uguale al prodotto tra l'ipotenusa e il coseno dell'angolo.

In formule:

$a = c \cdot \sin{\alpha} \\b = c \cdot \cos{\alpha}$

Secondo teorema dei triangoli rettangoli

Dalle relazioni tra tangente e lati di un triangolo rettangolo, visti nella circonferenza goniometrica, sai che:

il lato opposto a un angolo è uguale al prodotto tra il lato adiacente e la tangente dell'angolo;
il lato adiacente a un angolo è uguale al prodotto tra il lato opposto e la cotangente dell'angolo.

In formule:

$a = b \cdot \tan{\alpha} \\b = a \cdot \cot{\alpha}$

Applicazioni dei teoremi sui triangoli rettangoli

Risoluzione di un triangolo rettangolo

I due teoremi sui triangoli rettangoli, insieme al teorema di Pitagora, permettono di risolvere un triangolo rettangolo, ovvero di conoscere tutte le sue componenti, intesi come lati e angoli.

procedimentI

Ricavare l'ipotenusa	La lunghezza dell'ipotenusa può essere calcolata grazie al teorema di Pitagora, noti entrambi i cateti, o con il primo teorema dei triangoli rettangoli, noti un lato e un angolo
Ricavare un cateto	La lunghezza di un cateto può essere calcolata grazie al primo teorema dei triangoli rettangoli, noti l'ipotenusa e un angolo, oppure con il secondo teorema, noti un cateto e un angolo
Ricavare un angolo	Il seno o coseno di un angolo può essere calcolato grazie al primo teorema dei triangoli rettangoli, noti l'ipotenusa e un cateto. La tangente invece può essere calcolata con il secondo teorema, noti entrambi i cateti. Applicando le funzioni trigonometriche inverse (arcoseno, arcosino, arcotangente) è possibile ricavare il valore dell'angolo.

Calcolare l'area di un triangolo qualsiasi

L'area di un qualsiasi triangolo si calcola come la metà del prodotto tra due lati, per il seno dell'angolo fra essi compreso.

In formule:

$\text{Area} = \dfrac{1}{2}bc\sin{\alpha}$

Dove $b$ e $c$ sono due generici lati del triangolo, mentre $\alpha$ è l'angolo tra essi compreso.

Nota bene: questa formula è una generalizzazione della classica formula $\text{Area}=\text{base}\cdot \text{altezza}$ , infatti la base è un qualsiasi lato, mentre l'altezza si ricava grazie al prodotto dell'altro lato con il seno dell'angolo fra essi compreso per il primo teorema dei triangoli rettangoli.

Teorema della corda

Matematica; Goniometria e Trigonometria; 3a superiore; Teoremi sui triangoli rettangoli e applicazioni

La lunghezza di una qualsiasi corda di una circonferenza è pari al prodotto tra il diametro e l'angolo che insiste su di essa.

In formule:

$BC = 2r\sin{a}$

Dove $r$ è il raggio della circonferenza (quindi $2r$ il diametro), e $a$ è l'angolo che insiste sulla corda che si vuole calcolare.