Le funzioni seno e coseno

Definizione

Seno e coseno sono funzioni goniometriche, ovvero dipendenti da un angolo $\alpha$ . Sono definibili come proiezioni sugli assi dei punti appartenenti a una circonferenza centrata nell'origine e di raggio unitario. La circonferenza in questione viene definita circonferenza goniometrica.

Preso un punto qualsiasi è possibile tracciarne le proiezioni sugli assi, costruendo il triangolo $A\hat{O}A'$ con angolo alla base $\alpha$ .

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La misura delle proiezioni corrisponde a quella dei cateti del triangolo rettangolo:

$OA' = \cos{\alpha}$ ;
$OA = \sin{\alpha}$ .

La misura della proiezione del raggio sulle ascisse e sulle ordinate equivale rispettivamente al valore del seno e del coseno

Nota bene: in questo modo, grazie al seno e al coseno, puoi stabilire una relazione diretta tra l'angolo $\alpha$ e, rispettivamente, il cateto opposto e quello adiacente del triangolo rettangolo.

Prima relazione fondamentale

Per ogni valore di $\alpha$ vale la seguente relazione:

$\cos^2{\alpha} +\sin^2{\alpha} =1$

dimostrazione

1.	Dal teorema di pitagora sai che: $\text{ipotenusa}^2 = \text{cateto adiacente}^2 + \text{cateto opposto}^2$
2.	Applicando ciò a quanto visto sulla circonferenza goniometrica: $(OA')^2 + (AA')^2 = (OA)^2$
3.	Sostituendo ai lati le funzioni goniometriche: $\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha} = 1^2 = 1$

Funzioni goniometriche su un triangolo rettangolo qualsiasi

Definizione

Il seno e il coseno possono essere definiti su un qualsiasi triangolo rettangolo in questo modo:

$\sin{\alpha} = \dfrac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}$ $\cos{\alpha} = \dfrac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}}$

Dimostrazione

1.	Applica la definizione qui sopra al triangolo rettangolo generico della circonferenza goniometrica: $\sin{\alpha}=\dfrac{AA'}{OA}$ $\cos{\alpha}=\dfrac{OA'}{OA}$
2.	Il raggio della circonferenza goniometrica, per definizione, è pari a $1$ . Di conseguenza, l'ipotenusa $OA$ del triangolo rettangolo è unitaria.
3.	Sostituiamo nelle formule il valore del raggio al posto dell'ipotenusa $OA$ . Di conseguenza: $\sin{\alpha}=\dfrac{AA'}{1} = AA'$ $\cos{\alpha}=\dfrac{OA'}{1}=OA'$

Proprietà di seno e coseno

Funzioni periodiche e dominio

Seno e coseno sono funzioni definite sulla circonferenza goniometrica, che ha come ampiezza massima l'angolo giro. Come conseguenza, $\sin{\alpha}$ e $\cos{\alpha}$ sono funzioni periodiche di periodo $2\pi$ (ampiezza dell'angolo giro in radianti).

In formule:

$\sin{\alpha} = \sin(2k\pi + \alpha) \\\cos{\alpha} = \cos(2k\pi + \alpha)$

Dove $k$ è un qualsiasi numero intero, positivo o negativo ( $k \in \Z$ ).

Simmetrie

Il seno è una funzione dispari, infatti:

$\sin{(-\alpha)} =-\sin{\alpha}$

Il coseno è una funzione pari, infatti:

$\cos{(-\alpha)}=\cos{\alpha}$

Funzioni sul piano cartesiano

Funzione seno

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L'equazione della funzione seno è $y = f(x) = \sin x$ .

Funzione coseno

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L'equazione della funzione coseno è $y = f(x) = \cos x$ .

Sintesi delle caratteristiche

Dominio	Tutto $\R$
Codominio	$[-1,1]$ Quindi, per ogni $x \in \R$ : $-1 \leq \sin x \leq 1 \\-1 \leq \cos x \leq 1$
Periodo	$2\pi$
Simmetrie	Dispari ( $\sin x$ ) Pari ( $\cos x$ ) Di conseguenza, come si vede dai grafici: Il seno è simmetrico rispetto all'origine Il coseno è simmetrico rispetto all'asse y

Valori notevoli di seno e coseno

I valori di seno e coseno possono essere calcolati con la calcolatrice scientifica. Tuttavia conviene imparare a calcolare i valori assunti dalle funzioni goniometriche per alcuni angoli notevoli con la tabella riportata qua sotto:

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Per calcolare il valore del seno o del coseno, bisogna scegliere l'angolo del quale si vuole sapere il valore (riportati sulle colonne in gradi).

Il valore della funzione avrà al numeratore il numero della tabella corrispondente, sotto radice, mentre come denominatore avrà $2$ .

Esempio

Per calcolare il coseno di un angolo di $60°$ , bisogna scegliere il numeratore corretto, in questo caso $\sqrt 1=1$ , e il denominatore corretto, $2$ .

Il coseno dell'angolo in questione quindi sarà $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , quindi, razionalizzando, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

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