Seno e coseno sono funzioni goniometriche, ovvero dipendenti da un angolo α. Sono definibili come proiezioni sugli assi dei punti appartenenti a una circonferenza centrata nell'origine e di raggio unitario. La circonferenza in questione viene definita circonferenza goniometrica.
Preso un punto qualsiasi è possibile tracciarne le proiezioni sugli assi, costruendo il triangolo AO^A′ con angolo alla base α.
La misura delle proiezioni corrisponde a quella dei cateti del triangolo rettangolo:
OA′=cosα;
OA=sinα.
La misura della proiezione del raggio sulle ascisse e sulle ordinate equivale rispettivamente al valore del seno e del coseno
Nota bene: in questo modo, grazie al seno e al coseno, puoi stabilire una relazione diretta tra l'angolo α e, rispettivamente, il cateto opposto e quello adiacente del triangolo rettangolo.
Prima relazione fondamentale
Per ogni valore di α vale la seguente relazione:
cos2α+sin2α=1
dimostrazione
1.
Dal teorema di pitagora sai che:
ipotenusa2=cateto adiacente2+cateto opposto2
2.
Applicando ciò a quanto visto sulla circonferenza goniometrica:
(OA′)2+(AA′)2=(OA)2
3.
Sostituendo ai lati le funzioni goniometriche:
cos2α+sin2α=12=1
Funzioni goniometriche su un triangolo rettangolo qualsiasi
Definizione
Il seno e il coseno possono essere definiti su un qualsiasi triangolo rettangolo in questo modo:
Applica la definizione qui sopra al triangolo rettangolo generico della circonferenza goniometrica: sinα=OAAA′cosα=OAOA′
2.
Il raggio della circonferenza goniometrica, per definizione, è pari a 1. Di conseguenza, l'ipotenusa OA del triangolo rettangolo è unitaria.
3.
Sostituiamo nelle formule il valore del raggio al posto dell'ipotenusa OA. Di conseguenza:
sinα=1AA′=AA′cosα=1OA′=OA′
Proprietà di seno e coseno
Funzioni periodiche e dominio
Seno e coseno sono funzioni definite sulla circonferenza goniometrica, che ha come ampiezza massima l'angolo giro. Come conseguenza, sinα e cosα sono funzioni periodiche di periodo 2π (ampiezza dell'angolo giro in radianti).
In formule:
sinα=sin(2kπ+α)cosα=cos(2kπ+α)
Dove k è un qualsiasi numero intero, positivo o negativo (k∈Z).
Simmetrie
Il seno è una funzione dispari, infatti:
sin(−α)=−sinα
Il coseno è una funzione pari, infatti:
cos(−α)=cosα
Funzioni sul piano cartesiano
Funzione seno
L'equazione della funzione seno è y=f(x)=sinx.
Funzione coseno
L'equazione della funzione coseno è y=f(x)=cosx.
Sintesi delle caratteristiche
Dominio
Tutto R
Codominio
[−1,1]
Quindi, per ogni x∈R:
−1≤sinx≤1−1≤cosx≤1
Periodo
2π
Simmetrie
Dispari (sinx)
Pari (cosx)
Di conseguenza, come si vede dai grafici:
Il seno è simmetrico rispetto all'origine
Il coseno è simmetrico rispetto all'asse y
Valori notevoli di seno e coseno
I valori di seno e coseno possono essere calcolati con la calcolatrice scientifica. Tuttavia conviene imparare a calcolare i valori assunti dalle funzioni goniometriche per alcuni angoli notevoli con la tabella riportata qua sotto:
Per calcolare il valore del seno o del coseno, bisogna scegliere l'angolo del quale si vuole sapere il valore (riportati sulle colonne in gradi).
Il valore della funzione avrà al numeratore il numero della tabella corrispondente, sotto radice, mentre come denominatore avrà 2.
Esempio
Per calcolare il coseno di un angolo di 60°, bisogna scegliere il numeratore corretto, in questo caso 1=1, e il denominatore corretto, 2.
Il coseno dell'angolo in questione quindi sarà 21, quindi, razionalizzando, 22.
Quali valori possono assumere il seno e il coseno di un angolo?
Il codominio di seno e coseno è l'intervallo compreso tra -1 e 1, di conseguenza le due funzioni possono assumere solo valori compresi tra questi due estremi.
Che cos'è la prima relazione fondamentale della goniometria?
E' un'uguaglianza per cui la somma del quadrato del seno e del quadrato del coseno di qualsiasi angolo è sempre uguale a 1.
Che cosa sono il seno e il coseno di un angolo?
Costruendo un triangolo rettangolo che ha alla base l'angolo di cui vogliamo calcolare le funzioni goniometriche:
Il seno è il quoziente della lunghezza del cateto opposto all'angolo rispetto all'ipotenusa.
Il coseno è il quoziente della lunghezza del cateto adiacente rispetto all'ipotenusa.
Beta
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