Funzioni goniometriche inverse e trasformazioni

​​Funzioni goniometriche inverse

​​Definizione

Le funzioni goniometriche inverse sono funzioni che, dato un valore di seno, coseno e tangente, restituiscono il valore dell'angolo associato.

Una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca, cioè iniettiva e suriettiva allo stesso tempo.

Per far si che le funzioni goniometriche siano invertibili, quindi, bisogna considerare solo una restrizione delle stesse.

L'arcoseno

La funzione inversa del seno è detta arcoseno. 

La sua equazione è $y = f(x) =\arcsin{x}$ o $y = f(x) = \sin^{-1}{x}$.

Per far si che la funzione seno sia invertibile, e quindi biunivoca, bisogna considerarne solo una restrizione da $-\dfrac{\pi}{2}$ a $\dfrac{\pi}{2}$.

Il dominio dell'arcoseno è quindi $[-1,1]$, e il suo codominio, ovvero l'insieme dei valori che può assumere, è $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Nota bene: l'arcoseno è una funzione dispari, quindi $\arcsin{(-x)} = -\arcsin{(x)}$.

Esempio

​$\arcsin{1}=\dfrac{\pi}{2} \\\arcsin{(-\dfrac{1}{2})}= -\dfrac{\pi}{6}$

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L'arcocoseno

La funzione inversa del coseno è detta arcocoseno.

La sua equazione è $y = f(x)=\arccos{x}$ o $y = f(x) = \cos^{-1}{x}$.

Per far si che la funzione coseno sia invertibile, e quindi biunivoca, bisogna considerare una sua restrizione da $0$ a $\pi$.

Il dominio dell'arcocoseno è quindi $[-1,1]$, e il suo codominio è $[0,\pi]$.

Esempio

​$\arccos{1} = 0 \\\arccos{(-\dfrac{1}{2})} = \dfrac{2\pi}{3}$

L'arcotangente

La funzione inversa della tangente è detta arcotangente.

La sua equazione è $y= f(x)=\arctan{x}$ o $y=f(x)=\tan^{-1}{x}$.

Per far si che la funzione tangente sia invertibile, quindi biunivoca, bisogna considerare una sua restrizione da $-\dfrac{\pi}{2}$ a $\dfrac{\pi}{2}$.

Il dominio dell'arcotangente è quindi tutto $\R$, mentre il suo codominio è $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$.

Nota bene: l'arcotangente è una funzione dispari, quindi $\arctan{(-x)}=-\arctan{(x)}$.

Trasformazioni di funzioni goniometriche

Dalle funzioni seno e coseno, applicando opportune trasformazioni, si possono ottenere una serie di funzioni utili per molte applicazioni, come lo studio delle onde.

In questo paragrafo verranno trattate solo le trasformazioni del seno, ma i principi di seguito saranno validi anche per le trasformazioni del coseno.

​​Funzioni sinusoidali

(grafico funzione sinusoidale generica)

L'equazione della generica funzione sinusoidale è $y=A\sin{(\omega x + \phi)} + B$. Cambiando uno di questi fattori si ottengono le seguenti trasformazioni:

Variazioni di queste quantità portano a modifiche secondarie:

• viene modificato il periodo $T$ della funzione, che diventa $T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}$. Per la tangente invece, il periodo diventa $T=\dfrac{\pi}{|\omega|}$;

• ​il codominio del seno varia, da $[-1,1]$ a $[-|A|, A]$.​