Home

Matematica

Goniometria e Trigonometria

Formule goniometriche

Formule goniometriche

Video lezioni

Riassunto

Esercizi

Seleziona lezione

Probabilità

Eventi e probabilità

Somma logica di eventi

Prodotto logico di eventi

Variabili casuali discrete e distribuzioni di probabilità

Variabili casuali continue

Calcolo combinatorio

Disposizioni

Permutazioni

Combinazioni

Statistica

I dati statistici

Rappresentazione di dati statistici

Indici di posizione centrale

Indici di variabilità

Probabilità classica

Teoremi del calcolo probabilistico

Coniche nel piano cartesiano

La parabola e la sua equazione

Rette e parabole

Circonferenza e cerchio

Circonferenze e poligoni

La circonferenza e la sua equazione

Rette e circonferenze

L'ellisse e la sua equazione

L'iperbole e la sua equazione

Il piano Cartesiano

Il piano Cartesiano

Punti e segmenti

Equazione della retta

Rette parallele, perpendicolari e fasci di rette

Distanza di un punto da una retta

Geometria analitica nello spazio

Coordinate e vettori nello spazio

Piano e sua equazione

Retta e sua equazione

Geometria euclidea nello spazio

Punti, rette, piani nello spazio

Perpendicolarità e parallelismo

Distanze e angoli nello spazio

Poliedri

Aree dei solidi

Volumi dei solidi

Goniometria e Trigonometria

Misura degli angoli

Funzioni seno e coseno

Funzioni tangente e cotangente

Funzioni goniometriche inverse e trasformazioni

Formule goniometriche

Equazioni goniometriche

Disequazioni goniometriche

Teoremi sui triangoli rettangoli e applicazioni

Applicazioni della trigonometria

Esponenziali e logaritmiche

Funzioni quadratiche

Funzioni esponenziali

I logaritmi e le proprietà

Funzione logaritmica

Funzioni lineari

Introduzione alle funzioni

Il piano cartesiano e il grafico di funzione

Particolari funzioni numeriche

Il dominio delle funzioni

Proprietà delle funzioni

Funzioni fratte

Le disequazioni

Disequazioni esponenziali

Disequazioni logaritmiche

Le equazioni

Equazioni esponenziali

Equazioni logaritmiche

Video Esplicativo

Insegnante: Claudia

Riassunto

Formule goniometriche

​​Formule di addizione e sottrazione

​​Sottrazione del coseno

Dati due angoli α\alphaα e β\betaβ, si può calcolare il coseno di α−β\alpha-\betaα−β nel seguente modo:​

​cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos{(\alpha-\beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ

La formula si può dimostrare costruendo l'angolo α−β\alpha-\betaα−β sulla circonferenza goniometrica e valutando il suo coseno.


Addizione del coseno

​cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ

Dimostrazione

1.
​cos⁡(α+β)=cos⁡(α−(−β))\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{(\alpha-(-\beta))}cos(α+β)=cos(α−(−β))​​
2.
Utilizzando la formula di sottrazione del coseno:
​cos⁡(α+β)=cos⁡(α−(−β))=cos⁡αcos⁡(−β)+sin⁡αsin⁡(−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡α(−sin⁡β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{(\alpha-(-\beta))} = \cos{\alpha}\cos{(-\beta)}+\sin{\alpha}\sin{(-\beta)} = \\ \cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}(-\sin{\beta}) = \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}cos(α+β)=cos(α−(−β))=cosαcos(−β)+sinαsin(−β)=cosαcosβ+sinα(−sinβ)=cosαcosβ−sinαsinβ​​


Addizione del seno

​sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

dimostrazione

1.
Dalle relazioni tra angoli complementari sai che:
​sin⁡(π2−α)=cos⁡α\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha \right)} = \cos{\alpha}sin(2π​−α)=cosα e cos⁡(π2−α)=sin⁡α\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha \right)} = \sin{\alpha}cos(2π​−α)=sinα​​
2.
​sin⁡(α+β)=cos⁡[π2−(α+β)]=cos⁡[(π2−α)−β]\sin{(\alpha+\beta)}=\cos{\left[\dfrac{\pi}{2}-(\alpha+\beta) \right]} = \cos{\left[ \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha \right)-\beta \right]}sin(α+β)=cos[2π​−(α+β)]=cos[(2π​−α)−β]​​
3.
Usando la formula di sottrazione del coseno:
​cos⁡[(π2−α)−β]=cos⁡(π2−α)cos⁡β+sin⁡(π2−α)sin⁡β=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\cos{\left[ \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha \right)-\beta \right]} = \cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha \right)}\cos{\beta}+ \sin{\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha \right)}\sin{\beta} = \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}cos[(2π​−α)−β]=cos(2π​−α)cosβ+sin(2π​−α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ​​


Sottrazione del seno

​sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin{(\alpha-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ

dimostrazione

1.
​sin⁡(α−β)=sin⁡(α+(−β))\sin{(\alpha-\beta)}=\sin{(\alpha+(-\beta))}sin(α−β)=sin(α+(−β))​​
2.
Usando la formula di addizione del seno:
​sin⁡(α−β)=sin⁡(α+(−β))=sin⁡αcos⁡(−β)+cos⁡αsin⁡(−β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡α(−sin⁡β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin{(\alpha-\beta)}=\sin{(\alpha+(-\beta))} = \sin{\alpha}\cos{(-\beta)}+\cos{\alpha}\sin{(-\beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}(-\sin{\beta})=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}sin(α−β)=sin(α+(−β))=sinαcos(−β)+cosαsin(−β)=sinαcosβ+cosα(−sinβ)=sinαcosβ−cosαsinβ​​


Addizione e sottrazione della tangente

  • ​tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan{(\alpha+\beta)}=\dfrac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}tan(α+β)=1−tanαtanβtanα+tanβ​​​
  • ​tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\tan{(\alpha-\beta)}=\dfrac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}}tan(α−β)=1+tanαtanβtanα−tanβ​​​

Con α−β≠π2+kπα≠π2+kπβ≠π2+kπk∈Z\alpha-\beta \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi \quad \alpha \neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi \quad \beta \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi \quad \quad k \in \Zα−β=2π​+kπα=2π​+kπβ=2π​+kπk∈Z​

Le formule riportate sopra si possono dimostrare con la definizione di tangente: tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan{\alpha}=\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}tanα=cosαsinα​

In formule: tan⁡(α+β)=sin⁡(α+β)cos⁡(α+β),tan⁡(α−β)=sin⁡(α−β)cos⁡(α−β)\tan{(\alpha + \beta)}=\dfrac{\sin{(\alpha+\beta)}}{\cos{(\alpha+\beta)}}, \quad \tan{(\alpha - \beta)}=\dfrac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{(\alpha-\beta)}}tan(α+β)=cos(α+β)sin(α+β)​,tan(α−β)=cos(α−β)sin(α−β)​



Formule di duplicazione

​​Duplicazione del seno

​sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}sin2α=2sinαcosα

dimostrazione

1.
​sin⁡2α=sin⁡(α+α)\sin{2\alpha} = \sin{(\alpha+\alpha)}sin2α=sin(α+α)​​
2.
Usando la formula di addizione del seno:
sin⁡(α+α)=sin⁡αcos⁡α+sin⁡αcos⁡α=2sin⁡αcos⁡α\sin{(\alpha+\alpha)}=\sin{\alpha}\cos{\alpha}+\sin{\alpha}\cos{\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}sin(α+α)=sinαcosα+sinαcosα=2sinαcosα​​


​​Duplicazione del coseno

​cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}cos2α=cos2α−sin2α

O, analogamente:

​cos⁡2α=1−2sin⁡2αcos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos{2\alpha}=1-2\sin^2{\alpha} \\\cos{2\alpha}=2\cos^2{\alpha}-1cos2α=1−2sin2αcos2α=2cos2α−1

dimostrazione

1.
​cos⁡2α=cos⁡(α+α)\cos{2\alpha}=\cos{(\alpha+\alpha)}cos2α=cos(α+α)​​
2.
Usando la formula di addizione del coseno:
​ cos⁡(α+α)=cos⁡αcos⁡α−sin⁡αsin⁡α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos{(\alpha+\alpha)}=\cos{\alpha}\cos{\alpha}-\sin{\alpha}\sin{\alpha} = \cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}cos(α+α)=cosαcosα−sinαsinα=cos2α−sin2α​​
3.
Per calcolare le formule alternative, sostituisci sin⁡2α\sin^2{\alpha}sin2α o cos⁡2α\cos^2{\alpha}cos2α nella formula precedente, a causa della prima relazione fondamentale:
sin⁡2α=1−cos⁡2αcos⁡2α=1−sin⁡2α\sin^2{\alpha}=1-\cos^2{\alpha} \quad \cos^2{\alpha}= 1 -\sin^2{\alpha}sin2α=1−cos2αcos2α=1−sin2α​​

​

Duplicazione della tangente

​tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α,\tan{2\alpha}=\dfrac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}},tan2α=1−tan2α2tanα​, con α≠π4+kπ2k∈Z\alpha \neq \dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2} \quad \quad k\in\Zα=4π​+k2π​k∈Z​​

La formula si può dimostrare ponendo tan⁡2α=sin⁡2αcos⁡2α\tan{2\alpha}=\dfrac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}tan2α=cos2αsin2α​.



Formule di bisezione

Bisezione di seno e coseno

​sin⁡(α2)=±1−cos⁡α2cos⁡(α2)=±1+cos⁡α2\sin{\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)} = \pm \sqrt{\dfrac{1-\cos{\alpha}}{2}} \\\cos{\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)} = \pm \sqrt{\dfrac{1+\cos{\alpha}}{2}}sin(2α​)=±21−cosα​​cos(2α​)=±21+cosα​​


In queste formule compare il doppio segno. Ciò significa che il segno va scelto in base al quadrante dove si colloca l'angolo nella circonferenza goniometrica.

Ricapitolando:

Primo quadrante: 0<α2<π2cos⁡(α2)>0sin⁡(α2)>00<\dfrac{\alpha}{2}<\dfrac{\pi}{2} \quad \cos{\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)} > 0 \quad \sin{\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)} > 0 \\0<2α​<2π​cos(2α​)>0sin(2α​)>0

Secondo quadrante: π2<α2<πcos⁡(α2)<0sin⁡(α2)>0\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{\alpha}{2}<\pi\quad \cos{\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)} < 0 \quad \sin{\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)} > 02π​<2α​<πcos(2α​)<0sin(2α​)>0

Terzo quadrante: π<α2<3π2cos⁡(α2)<0sin⁡(α2)<0\pi<\dfrac{\alpha}{2}<\dfrac{3\pi}{2} \quad \cos{\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)} < 0 \quad \sin{\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)} < 0π<2α​<23π​cos(2α​)<0sin(2α​)<0

Quarto quadrante: 3π2<α2<2πcos⁡(α2)>0sin⁡(α2)<0\dfrac{3\pi}{2}<\dfrac{\alpha}{2}<2\pi \quad \cos{\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)} > 0 \quad \sin{\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)} < 023π​<2α​<2πcos(2α​)>0sin(2α​)<0


dimostrazione

1.
Dalla formula di duplicazione del coseno sai che:
cos⁡α=cos⁡2(α2)=2cos⁡2(α2)−1\cos{\alpha} = \cos{2\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)} = 2\cos^2{\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)}-1cosα=cos2(2α​)=2cos2(2α​)−1
e che:
cos⁡α=cos⁡2(α2)=1−2sin⁡2(α2)\cos{\alpha} = \cos{2\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)} = 1-2\sin^2{\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)}cosα=cos2(2α​)=1−2sin2(2α​)​​​
2.
Invertendo le formule si ottiene rispettivamente che:
​sin⁡(α2)=±1−cos⁡α2\sin{\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)} = \pm \sqrt{\dfrac{1-\cos{\alpha}}{2}} sin(2α​)=±21−cosα​​
e che:
​cos⁡(α2)=±1+cos⁡α2\cos{\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)} = \pm \sqrt{\dfrac{1+\cos{\alpha}}{2}}cos(2α​)=±21+cosα​​


Bisezione della tangente

​tan⁡(α2)=±1−cos⁡α1+cos⁡α\tan{\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)} = \pm \sqrt{\dfrac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}}tan(2α​)=±1+cosα1−cosα​​

Con α≠π+2kπk∈Z\alpha \ne \pi + 2k\pi \quad \quad k \in \Zα=π+2kπk∈Z

La formula si può dimostrare ponendo tan⁡(α2)=sin⁡(α2)cos⁡(α2)\tan{\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)} = \dfrac{\sin{\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)}}{\cos{\left(\dfrac{\alpha}{2} \right)}}tan(2α​)=cos(2α​)sin(2α​)​

Leggi tutto

Impara con le Basi

Impara le basi con unità teoriche e pratica ciò che hai appreso con set di esercizi!
Durata:
Misura degli angoli

Unità 1

Misura degli angoli

Funzioni goniometriche inverse e trasformazioni

Unità 2

Funzioni goniometriche inverse e trasformazioni

Funzioni tangente e cotangente

Unità 3

Funzioni tangente e cotangente

Funzioni seno e coseno

Unità 4

Funzioni seno e coseno

Test Salta Avanti

Ottieni l'80% per passare direttamente all'unità finale.

Questa è la lezione in cui sei attualmente e l'obiettivo del percorso.

Formule goniometriche

Unità 5

Formule goniometriche

Prova Finale

Testa tutte le unità per ottenere un pianeta premio.

Crea un account per iniziare gli esercizi

FAQ - Domande frequenti

Che cosa sono le formule di bisezione?

Sono formule che permettono di calcolare il seno, il coseno o la tangente della metà di un angolo.

Che cosa sono le formule di duplicazione?

Sono formule che permettono di calcolare il seno, il coseno o la tangente del doppio di un angolo.

Che cosa sono le formule di addizione e sottrazione?

Sono formule che permettono di calcolare il seno, il coseno o la tangente di una somma o differenza di angoli.

©2020 - 2025 evulpo AG

Beta