Equazioni esponenziali

Definizione

Un'equazione si dice esponenziale quando c'è almeno un termine elevato a potenza in cui l'esponente è l'incognita. Collocandosi all'interno dell'ambito delle equazioni, gode di tutte le caratteristiche ad esse collegate (principi di equivalenza, formule risolutive ecc...) e ha la proprietà particolare per la quale il valore della potenza elevata all'incognita è un numero sempre positivo.

In forma semplificata, un equazione esponenziale si può scrivere come

 $$a^x=b$$ con $$a\in\R_{>0}$$.

Esempi

​$$7^x=49$$ è un'equazione esponenziale.

$$x^3=29$$ non è un'equazione esponenziale.

Funzioni esponenziali

Una funzione esponenziale è una funzione della forma $$f(x)=a^x$$ con $$a\in\R_{>0}$$ e $$a\ne1$$. Questa ha la particolarità di assumere sempre valori positivi e di essere crescente in maniera esponenziale.​

In formule: $$f(x)=a^x>0 \quad \forall \ a\in\R_{>0}$$   e   $$f(x_1)>f(x_2)$$ se $$x_1>x_2$$.

Esempio

In figura è mostrata la funzione esponenziale $$f(x)=2^x$$ che, come si evince dal grafico, non è mai negativa ed è crescente. Infatti, ad esempio, $$f(0)=2^0=1>0$$​ e $$2=f(1)<f(2)=4$$.​

Casi risolutivi 

A seconda del tipo di valore assunto da $$a,\ b$$,  un'equazione esponenziale può condurre a diversi risultati.

• Se $$a=1$$ e $$b=1$$​ allora l'equazione è indeterminata.
• Se $$a=1$$ e $$b\ne1$$ allora l'equazione è impossibile.
• Se $$a\ne1$$​ e $$b>0$$ allora l'equazione ha una e una sola soluzione.
• Se $$a\ne1$$ e $$b\le0$$ l'equazione è impossibile.

Esempi

​$$1^x=-21$$ è un'equazione impossibile.

$$3^x=27$$ ha come risultato $$x=3$$; infatti, $$3^3=27.$$

​$$4^x=-36$$ è un'equazione impossibile.​

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Metodo risolutivo

In generale, non esiste un metodo da seguire passo passo che vada bene per ogni equazione esponenziale. Tuttavia, circoscrivendo lo studio ad alcune casistiche, è possibile individuare una traccia, spesso applicabile.

Caso Elementare

procedimento

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Esempi

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Equazione fratta o con prodotti

Se nell'equazione sono presenti prodotti o frazioni, è consigliabile procedere in questo modo.

PROCEDIMENTO

Ricorda: la legge di annullamento del prodotto ci dice che le soluzioni di un polinomio ridotto alla forma $$(x-a)(x-b)...(x-z)=0$$ sono le soluzioni dei singoli fattori, quindi $$a,b,...,z$$.

​​Esempio

Risolvere l'equazione esponenziale $$\dfrac{8 \cdot 2^x-12}{2^x+1}=4$$​

Nota bene: il seguente esempio non appartiene a questo caso, anche se ci sono frazioni, ma appartiene al caso elementare, vediamolo insieme!

$$\dfrac{3^x}{2^x}=\dfrac{4}{9} \\ \left( \dfrac{3}{2} \right)^x =\left( \dfrac{3}{2} \right) ^{-2}\\ x=-2$$​​

Metodo di sostituzione

Questo metodo è consigliabile usarlo quando non è possibile ridurre la disequazione a due esponenziali, a destra e a sinistra dell'uguale, e l'incognita $$x$$ presenta coefficienti diversi.

procedimento

Esempio

Risolvere l'equazione $$4^{x}-24 \cdot 2^{x-2}+8=0$$​