Equazioni esponenziali

Definizione

Un'equazione si dice esponenziale quando c'è almeno un termine elevato a potenza in cui l'esponente è l'incognita. Collocandosi all'interno dell'ambito delle equazioni, gode di tutte le caratteristiche ad esse collegate (principi di equivalenza, formule risolutive ecc...) e ha la proprietà particolare per la quale il valore della potenza elevata all'incognita è un numero sempre positivo.

In forma semplificata, un equazione esponenziale si può scrivere come

$a^x=b$ con $a\in\R_{>0}$ .

Esempi

$7^x=49$ è un'equazione esponenziale.

$x^3=29$ non è un'equazione esponenziale.

Funzioni esponenziali

Una funzione esponenziale è una funzione della forma $f(x)=a^x$ con $a\in\R_{>0}$ e $a\ne1$ . Questa ha la particolarità di assumere sempre valori positivi e di essere crescente in maniera esponenziale.

In formule: $f(x)=a^x>0 \quad \forall \ a\in\R_{>0}$ e $f(x_1)>f(x_2)$ se $x_1>x_2$ .

Esempio

Matematica; Le equazioni; 3a superiore; Equazioni esponenziali

In figura è mostrata la funzione esponenziale $f(x)=2^x$ che, come si evince dal grafico, non è mai negativa ed è crescente. Infatti, ad esempio, $f(0)=2^0=1>0$ e $2=f(1)<f(2)=4$ .

Casi risolutivi

A seconda del tipo di valore assunto da $a,\ b$ , un'equazione esponenziale può condurre a diversi risultati.

Se $a=1$ e $b=1$ allora l'equazione è indeterminata.
Se $a=1$ e $b\ne1$ allora l'equazione è impossibile.
Se $a\ne1$ e $b>0$ allora l'equazione ha una e una sola soluzione.
Se $a\ne1$ e $b\le0$ l'equazione è impossibile.

Esempi

$1^x=-21$ è un'equazione impossibile.

$3^x=27$ ha come risultato $x=3$ ; infatti, $3^3=27.$

$4^x=-36$ è un'equazione impossibile.

Metodo risolutivo

In generale, non esiste un metodo da seguire passo passo che vada bene per ogni equazione esponenziale. Tuttavia, circoscrivendo lo studio ad alcune casistiche, è possibile individuare una traccia, spesso applicabile.

Caso Elementare

procedimento

1.	Equazione esponenziale di partenza	$c^x=d$
2.	Se possibile, esprimo $c$ e $d$ come potenze aventi la stessa base	$[(d)^a]^x=d^b$
3.	Trovo $x$ come quel numero tale che $ax=b$	$x=\dfrac{b}{a}$

Esempi

1.	$4^x=64$
2.	$[(2)^2]^x=2^6$
3.	$2x=6$ quindi $x=\dfrac{6}{2}=3$ .

1.	$7^x=-49$
2.	$[(7^1)^x]=-7^2$
3.	impossibile perché non si può ottenere un numero negativo elevando alla potenza un numero positivo.

Equazione fratta o con prodotti

Se nell'equazione sono presenti prodotti o frazioni, è consigliabile procedere in questo modo.

PROCEDIMENTO

1.	Portare tutto a sinistra e lasciare lo zero a destra dell'equazione esponenziale
2.	Stabilire le condizioni di esistenza ponendo il denominatore $D \not= 0$
3.	Portare tutto a denominatore comune, eliminandolo successivamente
4.	Risolvere l'equazione o come nel caso elementare, o usando la legge di annullamento del prodotto
5.	Controllare la concordanza con le condizioni di esistenza

Ricorda: la legge di annullamento del prodotto ci dice che le soluzioni di un polinomio ridotto alla forma $(x-a)(x-b)...(x-z)=0$ sono le soluzioni dei singoli fattori, quindi $a,b,...,z$ .

Esempio

Risolvere l'equazione esponenziale $\dfrac{8 \cdot 2^x-12}{2^x+1}=4$ 

1.	$\dfrac{8 \cdot 2^x-12}{2^x+1}-4=0$
2.	$C.E: \ 2^x+1 \not= 0 \to 2^x \not= -1 \to \forall x \in \R$ Perché nessun esponenziale può assumere un valore negativo
3.	$8 \cdot 2^x-12-4\cdot 2^x-4=0$
4.	$4 \cdot 2^x -16=0 \to 2^x=4 \to 2^x=2^2 \\ x=2$
5.	Per le condizioni di esistenza ogni valore reale è valido, pertanto la soluzione è in accordo con esse

Nota bene: il seguente esempio non appartiene a questo caso, anche se ci sono frazioni, ma appartiene al caso elementare, vediamolo insieme!

$\dfrac{3^x}{2^x}=\dfrac{4}{9} \\ \left( \dfrac{3}{2} \right)^x =\left( \dfrac{3}{2} \right) ^{-2}\\ x=-2$ 

Metodo di sostituzione

Questo metodo è consigliabile usarlo quando non è possibile ridurre la disequazione a due esponenziali, a destra e a sinistra dell'uguale, e l'incognita $x$ presenta coefficienti diversi.

procedimento

1.	Ridurre tutti gli esponenziali alla stessa base, semplificando eventuali esponenti aventi somma o differenza, o aggiungendo coefficienti all'esponente $x$ se necessario
2.	Porre l'incognita $t$ pari all'esponenziale di grado minore, rendendo gli altri termini esponenziali potenze di $t$
3.	Risolvere l'equazione algebrica rimasta con i metodi classici
4.	Risostituire l'esponenziale al posto di $t$ e risolvere le equazioni esponenziali elementari venute a crearsi

Esempio

Risolvere l'equazione $4^{x}-24 \cdot 2^{x-2}+8=0$ 

1.	$2^{2x}- \dfrac{24}{4}2^x+8=0$ Ho reso tutti gli esponenziali di base due, aggiungendo coefficienti ad esponente con il primo esponenziale, togliendo fattori dall'esponente nel secondo
2.	$t=2^x \to t^2-6t+8=0$
3.	$t_{1,2}=\dfrac{6 \pm \sqrt{36-32}}{2} \to t=2, \ t=4$
4.	$2^x=2 \to x=1 \\ 2^x=4 \to 2^x=2^2 \to =x=2$