La misura degli angoli

​​La trigonometria è la branca della matematica che studia i calcoli che permettono di determinare la misura di tutti i lati e degli angoli dei triangoli. Essa è preceduta dalla goniometria, branca che studia la misura degli angoli e delle relative funzioni.

Gli angoli

L'angolo $$a\^{O}b$$​ è una parte di piano individuata da due semirette $$a$$​ e $$b$$​ che hanno il punto $$O$$ in comune, detto vertice.

Se sono presenti due punti $$A$$ e $$B$$ sulle semirette, l'angolo può essere individuato con la notazione $$A\^{O}B$$.​

L'angolo massimo, che individua tutto il piano, è detto angolo giro.

Misura in gradi

Il grado è un'unità di misura dell'angolo che corrisponde a $$1/360$$ dell'angolo giro. E' indicato con il simbolo °.

Nota bene: un angolo giro corrisponde a $$360°$$.

Sottomultipli

Ogni grado viene ulteriormente diviso in:

•  $$60$$​ primi, che vengono indicati con l'apice (');
  
• $$3600$$​ secondi, indicati con il doppio apice ("):  un primo sono quindi $$60$$ secondi.​

Nota bene: Il sistema di misura in gradi, a causa della divisione in sessantesimi, è detto sistema sessagesimale.

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​​​​Esempio

Un angolo da 25 gradi, 32 primi e 49 secondi viene indicato come: $$25°32' \ 49''$$.

Misura in radianti

Si definisce angolo in radianti ($$rad$$) il rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza su cui insiste l'angolo e il suo raggio.

In formule: $$\alpha = \dfrac{l}{r}$$

Dimostrazione

Per capire la misura in radianti, considera le due circonferenze qua sotto in figura:

Nota bene: Un angolo giro corrisponde a $$2\pi$$ radianti 

Da gradi a radianti e viceversa

Viste le definizioni di angolo in gradi e radianti, si può costruire la seguente proporzione:

​$$2\pi : \alpha_{rad} = 360 : \alpha °$$

Risolvendola esplicitando l'angolo in radianti in funzione di quello in gradi e viceversa otteniamo le seguenti due formule di conversione:

$$\colorbox{#DEF1FF}{$\alpha_{rad}$} = \dfrac{2\pi}{360}\alpha° = \colorbox{#DEF1FF}{$\dfrac{\pi}{180}\alpha° $}$$

$$\colorbox{#FFFED8}{$\alpha°$} = \dfrac{360}{2\pi}\alpha_{rad} = \colorbox{#FFFED8}{$\dfrac{180}{\pi}\alpha_{rad} $}$$​​​

Lunghezza di un arco di circonferenza

​​Dalla formula per calcolare la misura di un angolo in radianti, possiamo ricavare che la lunghezza di un arco di circonferenza $$l$$ è pari al prodotto tra l'angolo $$\alpha$$ che insiste sull'arco e il raggio $$r$$​.

In formule: $$l = \alpha r$$

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Angoli orientati

Un angolo orientato, al posto di essere individuato da due semirette, è individuato da un lato origine e un lato che ruota in un verso predeterminato, orario o antiorario; per convenzione, viene definito positivo un angolo che ruota in senso antiorario e negativo uno che ruota in senso orario.

Esempio

$$\dfrac{\pi}{2}$$ è un angolo positivo, $$-\dfrac{\pi}{4}$$ è un angolo negativo.

Circonferenza goniometrica

La circonferenza goniometrica è individuata nel piano cartesiano. Ha centro nell'origine $$O$$ e ha raggio 1.

La sua equazione è $$x^2+y^2=1$$.

Essendo il raggio della circonferenza unitario, la lunghezza dell'arco individuato dall'angolo $$\alpha$$ sulla circonferenza goniometrica è pari alla misura dell'angolo in radianti.

In formule: $$l = \alpha \cdot r = \alpha \cdot 1 = \alpha$$​​