Funzioni esponenziali

Definizione

​Si chiama funzione esponenziale qualsiasi funzione del tipo: $$y=a^x$$​​ con $$a \isin \R^+$$​​. Esempio Una funzione esponenziale con $$a=2$$ è $$y=2^x$$.

Funzione esponenziale a base unitaria

Se $$a=1$$ si ottiene la funzione $$y=1^x$$ che per qualsiasi $$x$$ è sempre uguale a $$1$$, quindi si ottiene $$y=1$$ che è una funzione costante.

Proprietà

• Il dominio è tutto $$\R$$.
• Il codominio è $$\R ^+$$, cioè è una funzione sempre positiva, il cui grafico si trova quindi sempre nel primo o nel secondo quadrante.
• Il grafico interseca sempre l'asse $$y$$ nel punto $$(0;1)$$, in quanto qualsiasi numero elevato a $$x=0$$ è uguale a $$1$$,​
• Considerando come codominio $$\R^+$$, la funzione è iniettiva e biunivoca.
• Il grafico di $$y=a^x$$ è simmetrico rispetto al grafico di $$y= \left( \dfrac{1}{a} \right) ^x$$​​

Si distinguono i sottocasi $$0<a<1$$ e $$a>1$$,  ognuno con delle proprietà aggiuntive differenti:

​

Nota bene: il caso $$a=1$$ è una funzione degenere, come indicato sopra.

Funzione esponenziale con base $$e$$

Molto usata in matematica è la funzione $$y=e^x$$ dove $$e$$ è il numero di Nepero e vale $$2,71828182845...$$, questa funzione segue naturalmente tutte le properietà elencate sopra.