Disequazioni goniometriche

​​Disequazioni goniometriche elementari

Le disequazioni goniometriche elementari sono della forma $$\sin{x}>a$$, $$\cos{x}>b$$ o $$\tan{x}>c$$, con $$a,b,c \in \R$$. (Analogamente con $$<$$, $$\geq$$ o $$\leq$$).

Per risolvere questo tipo di disequazioni bisogna ricavare graficamente la soluzione sulla circonferenza goniometrica o sul grafico della funzione presente nel problema.

procedimento

Nota bene: per $$\sin{x}<-1 \space \vee \space \sin{x}>1$$ o $$\cos{x}<-1 \space \vee \space \cos{x}>1$$, la disequazione è impossibile.

Esempio

Per risolvere $$\sin{x}<-\dfrac{1}{2}$$ traccia la retta $$y= - 0,5$$. Interseca la circonferenza goniometrica in $$\dfrac{7 \pi}{6}, \dfrac{11 \pi}{6}$$.

La disequazione chiede che il seno sia minore di un dato valore, quindi sulla retta delle ordinate guarda da quel valore fino a $$-1$$.

Le soluzioni parziali sono: $$\dfrac{7\pi}{6}<x<\dfrac{11\pi}{6}$$.

Aggiungendo la periodicità del seno, la soluzione definitiva è:

 $$\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi<x <\dfrac{11\pi}{6}+2k\pi$$, con $$k \in \Z$$.

Nota bene: ​

• Nell'esempio c'era la funzione seno, quindi hai considerato una retta orizzontale, se ci fosse stata la funzione coseno, avresti preso in considerazione una retta verticale $$x=a$$.
  
• Nell'esempio avevi il simbolo di minore, quindi hai guardato sulla retta delle ordinate verso giù, con il simbolo maggiore segui il verso su, analogamente per la funzione coseno guardi o a destra o a sinistra.

Analogamente si può visualizzare la soluzione sul grafico della funzione seno, dove i valori di $$x$$ per cui la funzione è minore del valore richiesto.

Disequazioni goniometriche fratte o sotto forma di prodotto

Come per le disequazioni polinomiali, le disequazioni goniometriche fratte o sotto forma di prodotto possono essere risolte separando i fattori o i numeratori e i denominatori ed effettuando un opportuno studio dei segni.
La disequazioni polinomiali aveva le soluzioni sulla retta dei numeri reali, mentre le funzioni goniometriche sulla circonferenza goniometrica.

Per rendere più visibile la soluzione, quindi, lo studio dei segni si effettua sulla circonferenza goniometrica nell'intervallo $$[0,2\pi]$$. 

Una volta ottenuta la soluzione bisogna aggiungere la periodicità come nelle disequazioni elementari.

Esempio

​$$\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}-\frac{1}{2}}>0$$

Nel grafico sopra, puoi vedere nelle circonferenze interne, rispettivamente, lo studio dei segni di $$\sin{x}>0$$ e di $$\cos{x}-\dfrac{1}{2}>0$$.

Applichi lo stesso procedimento di prima al numeratore e disegni la sua circonferenza e scrivi i suoi segni negli intervalli, poi lo fai per il denominatore. Alla fine, per ogni intervallo trovi il suo segno finale applicando la regola dei segni e quindi segni concordi diventano $$+$$, segni discordi diventano $$-$$.

Una volta fatto lo studio e aggiunta la periodicità, puoi ricavare la soluzione, visualizzata all'esterno della circonferenza goniometrica, cioè:

 $$0+2k\pi<x<\dfrac{\pi}{3}+2k\pi \space \vee \space \pi+2k\pi<x<\dfrac{5 \pi}{3}+2k\pi$$, con $$k \in \Z$$.