Disequazioni esponenziali

​​Definizione

Quando $$x$$ è all'esponente la disequazione si chiama esponenziale. Ci sono vari metodi per risolverle, qui vediamo tre metodi molto comuni.

Ricorda:

• un esponenziale ha sempre valore positivo;
  
• quando l'esponente è negativo si può ribaltare la base e portare l'esponente positivo e viceversa;
  
• qualsiasi numero elevato a zero dà uno;
• la funzione esponenziale con base maggiore di uno è una funzione crescente, mentre con base compresa fra zero e uno è una funzione decrescente.

Caso elementare

Si chiamano disequazioni elementari poiché fungono da base per gli altri casi.

procedimento

Esempi

Quando la base dell'esponenziale è maggiore di uno:

​$$27^{2x-3} - 81 \le 0 \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ 27^{2x-3} \le 81 \ \ \ \rightarrow \ \ \ (3^3)^{2x-3} \le 3^4 \ \ \ \rightarrow \ \ \ 3^{6x-9} \le 3^4 \\ 6x-9 \le 4 \ \ \ \rightarrow \ \ \ x \le \dfrac{13}{6}$$​

Quando la base dell'esponenziale è compresa fra zero e uno:

$$\left( \dfrac{3}{4}\right)^{5x} > \dfrac{16}{9} \ \ \ \rightarrow \ \ \ \left( \dfrac{3}{4}\right)> \left( \dfrac{9}{16}\right)^{-1 } \ \ \ \rightarrow \ \ \ \left( \dfrac{3}{4}\right) ^{5x}> \left( \dfrac{3}{4} \right)^{-2}\\5x < -2 \ \ \ \rightarrow \ \ \ x <- \dfrac{2}{5}$$​​

Disequazione fratta o con prodotti

Se nella disequazione sono presenti prodotti o frazioni, è consigliabile procedere in questo modo.

procedimento

Esempio

​$$\dfrac{8 \cdot 2^x-12}{2^x+1}> 4 \ \ \ \rightarrow \ \ \ \dfrac{8 \cdot 2^x- 12 - 4 \cdot (2^x+1)}{2^x+1}>0 \ \ \ \rightarrow \ \ \ \dfrac{4 \cdot 2^x-16}{2^x+1}>0 \\Numeratore: 4 \cdot 2^x -16>0 \ \ \ \rightarrow \ \ \ 2^x-4>0 \ \ \ \rightarrow \ \ \ 2^x>2^2 \ \ \ \rightarrow \ \ \ x>2\\Denominatore: 2^x+1>0 \ \ \ \rightarrow \ \ \ 2^x>-1 \ \ \ \forall x \in \R$$

Un esponenziale è sempre positivo, per questo il denominatore ha questo risultato.
Le condizioni di esistenza per il denominatore sono: $$2^x + 1 \not =0, 2^x \not =-1 \ \ \forall x \in \R$$, poiché un esponenziale non è mai un numero negativo.

Compilando lo schema dei segni, si ottiene che la frazione ha valore positivo per $$x>2$$.​

Metodo di sostituzione

Questo metodo è consigliabile usarlo quando non è possibile ridurre la disequazione a due esponenziali, uno a destra e uno a sinistra del simbolo della disequazione, e l'incognita $$x$$ presenta coefficienti diversi.

procedimento

Esempio

​$$2^{2x}-24 \cdot 2^{x-2}+8 \ge 0 \ \ \ \rightarrow \ \ \ 2^{2x} - \dfrac{24}{4} \cdot 2^{x} +8 \ge 0 \\t=2^x \ \ \ \rightarrow \ \ \ t^2-6t+8 \ge 0 \ \ \ \rightarrow \ \ \ t\le2 \ \ \lor \ \ t\ge4\\ 2^x\le 2 \ \ \ \rightarrow \ \ \ x \le 1 \ , \ 2^x \ge 4 \ \ \ \rightarrow \ \ \ x \ge 2 \\\Rightarrow \ \ x \le 1 \ \lor \ x\ge 2$$​​