Funzioni tangente e cotangente

Seconda relazione fondamentale

La seconda relazione fondamentale definisce la tangente come il quoziente tra seno e coseno. Analogamente viene definita la cotangente come la funzione reciproca della tangente.​

In formule:

 $\tan{\alpha}=\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \\ \cot{\alpha}=\dfrac{1}{\tan{\alpha}}=\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$

Entrambe le funzioni sono periodiche di periodo $\pi$.

In formule: 

$\tan{\alpha}=\tan(\alpha+k\pi) \\ \cot{\alpha}=\cot(\alpha+k\pi)$, con $k$ numero reale qualsiasi.

Le funzioni, essendo definite come delle frazioni, esistono per ogni valore reale meno quelli che rendono il denominatore nullo.

In formule:

​$\tan{\alpha} \to \alpha \not= \dfrac{\pi}{2}+k\pi \\ \cot{\alpha} \to \alpha \not= k\pi$​​

La tangente sulla circonferenza goniometrica

La tangente viene visualizzata sulla circonferenza goniometrica come la distanza tra il punto $A'''$​ di coordinate $(1,0)$ e l'intersezione $A''$​ tra il lato di rotazione dell'angolo e la retta verticale tangente alla circonferenza.

​​

DIMOSTRAZIONE

Applicazioni

Tangente nel triangolo rettangolo

La tangente, essendo definita a partire da seno e coseno, ha il seguente significato geometrico:

​$\colorbox{#DEF1FF}{$\tan{\alpha}$}=\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\dfrac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}\cdot \dfrac{\text{ipotenusa}}{\text{cateto adiacente}}= \colorbox{#DEF1FF}{$\dfrac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}}$}$

Di conseguenza, in un triangolo rettangolo si possono sfruttare le seguenti relazioni trigonometriche: 

$\text{cateto opposto} = \tan{\alpha} \cdot \text{cateto adiacente} \\ \text{lato adiacente} = \cot{\alpha} \cdot \text{lato opposto}$

​​​

Tangente e coefficiente angolare

Il coefficiente angolare di una qualsiasi retta $y=mx+q$ nel piano cartesiano è pari alla tangente dell'angolo $\alpha$ che essa forma con l'asse x.

In formule: $m = \tan{\alpha}$

Funzione tangente

L'equazione della funzione tangente è $y = f(x) = \tan{x}$

Funzione cotangente

(grafico ordinato)

L'equazione della funzione cotangente è $y=f(x)=\cot{x}$

​​

Valori notevoli di tangente e cotangente

N​ota bene: i valori possono essere calcolati a partire dalle definizioni di tangente e cotagente, dividendo seni e coseni degli angoli di interesse.