Funzioni tangente e cotangente

Seconda relazione fondamentale

La seconda relazione fondamentale definisce la tangente come il quoziente tra seno e coseno. Analogamente viene definita la cotangente come la funzione reciproca della tangente.

In formule:

$\tan{\alpha}=\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \\ \cot{\alpha}=\dfrac{1}{\tan{\alpha}}=\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$

Entrambe le funzioni sono periodiche di periodo $\pi$ .

In formule:

$\tan{\alpha}=\tan(\alpha+k\pi) \\ \cot{\alpha}=\cot(\alpha+k\pi)$ , con $k$ numero reale qualsiasi.

Le funzioni, essendo definite come delle frazioni, esistono per ogni valore reale meno quelli che rendono il denominatore nullo.

In formule:

$\tan{\alpha} \to \alpha \not= \dfrac{\pi}{2}+k\pi \\ \cot{\alpha} \to \alpha \not= k\pi$

La tangente sulla circonferenza goniometrica

Matematica; Goniometria e Trigonometria; 3a superiore; Funzioni tangente e cotangente

La tangente viene visualizzata sulla circonferenza goniometrica come la distanza tra il punto $A'''$ di coordinate $(1,0)$ e l'intersezione $A''$ tra il lato di rotazione dell'angolo e la retta verticale tangente alla circonferenza.

DIMOSTRAZIONE

1.	Si può vedere graficamente come i triangoli $A''OA'''$ e $AOA'$ siano simili
2.	Di conseguenza, si costruisce la proporzione $A''A''' : AA' = OA''':OA'$
3.	Sostituendo ai lati i loro valori si ottiene che $\tan{\alpha}:\sin{\alpha}=1:\cos{\alpha}$
4.	Moltiplicando entrambi i membri per $\sin{\alpha}$ , si ottiene che: $\tan{\alpha}=\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$

Applicazioni

Tangente nel triangolo rettangolo

La tangente, essendo definita a partire da seno e coseno, ha il seguente significato geometrico:

$\colorbox{#DEF1FF}{$\tan{\alpha}$}=\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\dfrac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}\cdot \dfrac{\text{ipotenusa}}{\text{cateto adiacente}}= \colorbox{#DEF1FF}{$\dfrac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}}$}$

Di conseguenza, in un triangolo rettangolo si possono sfruttare le seguenti relazioni trigonometriche:

$\text{cateto opposto} = \tan{\alpha} \cdot \text{cateto adiacente} \\ \text{lato adiacente} = \cot{\alpha} \cdot \text{lato opposto}$

Tangente e coefficiente angolare

Il coefficiente angolare di una qualsiasi retta $y=mx+q$ nel piano cartesiano è pari alla tangente dell'angolo $\alpha$ che essa forma con l'asse x.

In formule: $m = \tan{\alpha}$

Funzione tangente

Matematica; Goniometria e Trigonometria; 3a superiore; Funzioni tangente e cotangente

L'equazione della funzione tangente è $y = f(x) = \tan{x}$

Dominio	$\R - \left(\dfrac{\pi}{2} + k\pi \right) \quad k \in \Z$
Codominio	$\R$
Periodo	$\pi$
Simmetrie	La tangente è una funzione dispari, infatti: $\tan{(-x)}=-\tan{(x)}$ Di conseguenza, è simmetrica rispetto all'origine.

Funzione cotangente

(grafico ordinato)

L'equazione della funzione cotangente è $y=f(x)=\cot{x}$

Dominio	$\R-k\pi \quad k \in \Z$
Codominio	$\R$
Periodo	$\pi$
Simmetrie	La cotangente è una funzione dispari, infatti: $\cot{(-x)} = -\cot{(x)}$ Di conseguenza è simmetrica rispetto all'origine.

Valori notevoli di tangente e cotangente

$\alpha$	$\tan{\alpha}$
$0$	$0$
$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$\dfrac{\pi}{4}$	$1$
$\dfrac{\pi}{3}$	$\sqrt3$
$\dfrac{\pi}{2}$ $0, \dfrac{\pi}{2}$	$\infin$

$\alpha$	$\cot{\alpha}$
$0$	$\infin$
$\dfrac{\pi}{6}$	$\sqrt{3}$
$\dfrac{\pi}{4}$	$1$
$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\sqrt3}{3}$
$\dfrac{\pi}{2}$ $0, \dfrac{\pi}{2}$	$0$

Nota bene: i valori possono essere calcolati a partire dalle definizioni di tangente e cotagente, dividendo seni e coseni degli angoli di interesse.