Un'equazione è detta goniometrica se l'incognita compare in almeno una funzione goniometrica.
Esempio
sinx=3e sinx+cosx−1=0 sono equazioni goniometriche.
Equazioni goniometriche elementari
Equazioni del tipo sinx=aa∈R
Per risolvere questo tipo di equazioni, bisogna distinguere tra due casi:
a<−1∨a>1
L'equazione non ha soluzioni, in quanto il seno di un qualsiasi angolo può assumere solo valori compresi tra −1 e 1
−1≤a≤1
Le soluzioni dell'equazione sono x=α+2kπ∨x=π−α+2kπ, con k∈Z e α un angolo tale che sinα=a.
Questo è dovuto sia alla periodicità del seno, di periodo 2π, sia al fatto che sinx=sin(π−x).
Equazioni del tipo cosx=bb∈R
Per risolvere questo tipo di equazioni bisogna distinguere fra due casi:
b<−1∨b>1
L'equazione non ha soluzioni, in quanto il coseno di un qualsiasi angolo può assumere solo valori compresi tra −1 e 1
−1≤b≤1
Le soluzioni dell'equazione sono x=β+2kπ∨x=−β+2kπ, con k∈Z e β un angolo tale che cosβ=b.
Questo è dovuto sia alla periodicità del coseno, sia al fatto che cosx=cos(−x)
Equazioni del tipo tanx=cc∈R
Visto che il codominio della tangente è tutto R, allora le equazioni di questo tipo ammettono sempre soluzione.
Le soluzioni dell'equazione sono date da x=γ+kπ, con k∈Z e γ un angolo tale che tanγ=c.
Questo è dovuto al fatto che la tangente è una funzione periodica di periodo π.
Equazioni lineari in seno e coseno
Definizione
Un equazione è detta lineare in seno e coseno se è della forma asinx+bcosx+c=0, con a,b,c∈R.
Per risolvere equazioni di questo tipo bisogna distinguere tra due casi:
Equazioni con c=0
L'equazione diventa del tipo asinx+bcosx=0
Le soluzioni dell'equazione si ottengono risolvendo l'equazione elementare
tanx=−ab.
Di conseguenza, bisogna imporre x=2π+kπ, con k∈Z.
DimostraziONe
1.
Dividendo entrambi i membri dell'equazione per cosx si ottiene:
atanx+b=0
2.
Riordinando l'equazione si ottiene: tanx=−ab
Equazioni con c=0
Per risolvere un'equazione lineare generica esistono due possibili metodi: il metodo grafico e quello dell'angolo aggiunto.
Metodo grafico
Con il metodo grafico, le soluzioni dell'equazione lineare si ottengono risolvendo il seguente sistema:
{sin2x+cos2x=1asinx+bcosx+c=0
Il sistema si risolve sostituendo: X=cosxY=sinx.
Si ottiene quindi:
{X2+Y2=1aX+bY+c=0
Graficamente ciò corrisponde all'intersezione tra una generica retta (in forma esplicita) e la circonferenza goniometrica.
Una volta trovati i valori di X e Y, per ottenere le soluzioni si risostituiscono le funzioni trigonometriche al loro posto.
Metodo dell'angolo aggiunto
Il metodo nell'angolo aggiunto consiste nel riscrivere asinx+bcosx+c=0 nella forma rsin(x+α)+c=0, le cui soluzioni si ottengono risolvendo la seguente equazione goniometrica elementare:
sinx=−rc
Per ricondurre l'equazione lineare a questa forma, bisogna porre r=a2+b2 e α un angolo tale che tanα=−ab.
Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno
Definizione
Un'equazione omogenea di secondo grado in seno e coseno è un'equazione della forma asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0.
Per risolvere un'equazione di questo tipo bisogna distinguere tra due casi:
Equazioni con a=0∨c=0
Con a=0 l'equazione diventa bsinxcosx+ccos2x=0.
Con c=0 l'equazione diventa asin2x+bsinxcosx=0
Per risolvere l'equazione nel primo caso bisogna raccogliere cosx, nel secondo sinx. Così facendo si ottengono rispettivamente:
cosx(bsinx−ccosx)=0
sinx(asinx+bcosx)=0
In entrambi i casi l'equazione è risolvibile con la legge dell'annullamento del prodotto.
Equazioni con a=0∧c=0
Un'equazione della forma asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 si può risolvere dividendo entrambi i membri per cos2x, ponendo x=kπ, con k∈Z.
Facendo così si ottiene un'equazione della forma atan2x+btanx+c=0.
L'equazione si può ricondurre a un'equazione di secondo grado con la sostituzione t=tanx, per essere poi ulteriormente ricondotta a un'equazione goniometrica elementare della forma tanx=t.
Equazioni riconducibili a omogenee di secondo grado
Un'equazione del tipo asin2x+bsinxcosx+ccos2x+d=0 può essere ricondotta a un'equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno nel seguente modo:
asin2x+bsinxcosx+ccos2x+d(sin2x+cos2x)=0
Così facendo infatti la costante scompare per via della prima relazione fondamentale e sono quindi presenti solo termini di secondo grado.
Come si risolve un'equazione lineare in seno e coseno?
Un'equazione lineare in seno e coseno si risolve col metodo grafico, ovvero con l'intersezione tra la circonferenza goniometrica e la retta individuata dall'equazione stessa.
Che cos'è un'equazione goniometrica?
Un'equazione goniometrica è un'equazione in cui l'incognita compare in almeno una funzione goniometrica.
Beta
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