Bohr'sches Atommodell: Experiment und Energieniveaus

Das von Niels Bohr aufgestellte Atommodell war konsistent mit ​den Erkenntnissen des Rutherford Experimentes und der Entdeckung von Linienspektren und bot daher eine Erklärung für die neu entdeckten Eigenschaften der Materie. Es war damit einer der ersten Schritte in der Entwicklung der Quantenmechanik.

Von Experimenten zum Atommodell

Aus dem Streuexperiment von Rutherford geht hervor, dass der Grossteil der Masse in extrem kleinen, positiv geladenen Teilchen (Atomkerne) konzentriert ist, die ein Gitter bilden. Da die Materie neutral ist, müssen kleine, leichte und negativ geladene Teilchen (Elektronen) die positive Ladung ausgleichen. Die Idee ist, dass die Elektronen sich auf im Verhältnis zum Kern grossen Bahnen um den Kern kreisen und damit eine Elektronenhülle bilden, die den grossen Abstand zwischen den Kernen halten.

Wenn sich nun aber Elektronen auf Kreisbahnen bewegen, emittieren sie nach klassischer Elektrodynamik elektromagnetische Strahlung, da dies eine beschleunigte Bewegung ist. Durch die Abstrahlung von elektromagnetischen Wellen würden sie aber an Energie verlieren und auf Spiralbahnen in kürzester Zeit in den Atomkern stürzen. Daher könnten solche Atome gar nicht existieren.

Aus dem Wasserstoff-Linienspektrum hat man gelernt, dass nur Licht mit bestimmten Frequenzen von den Wasserstoffatomen absorbiert wird und nicht kontinuierlich interagiert, so wie man es erwarten würde.

Das Bohrsche Atommodell schlägt nun folgende Lösung vor:

1. Elektronen kreisen unter den Regeln der klassischen Mechanik auf Kreisbahnen um den Atomkern.
   
2. Auf diesen Bahnen geben sie keine elektromagnetische Strahlung ab. Bei Übergängen auf innere Kreisbahnen wird ein Photon mit der Energiedifferenz abgestrahlt.
3. Es sind nur gewisse diskrete Radien für die stabilen Kreisbahnen erlaubt. Es muss die unten aufgeführte Bedingung gelten.

​$$m_e\cdot v\cdot r = n\cdot\dfrac{h}{2\pi}, \quad n=1,2,3,\ldots$$

Ein Elektron kann nun auf einen niederen Zustand wechseln und ein Photon mit Frequenz $$f$$​ aussenden, oder ein Photon $$\delta$$​ mit Frequenz $$f$$​ kann ein Elektron auf eine höhere Kreisbahn anheben, wobei: $$f = \dfrac{\Delta E}{h}$$​​

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Energieniveaus

Wenn du mittels der Bedingung

​$$m_e\cdot v\cdot r = n\cdot\dfrac{h}{2\pi}$$

die Gesamtenergie des Elektrons, also potenzielle plus kinetische Energie berechnest, erhältst du folgende Energieniveaus für die verschiedenen Bahnen.

​$$E_n = E_{pot,n} + E_{kin,n} = -\dfrac{h\cdot f_R}{n^2}, \quad f_R = 3{,}29\cdot10^{15}\,Hz$$​​

Dabei ist $$f_R$$ eine konstante Frequenz, die Rydbergfrequenz genannt wird.

Der Teiler sorgt dafür, dass die Energieniveaus gegen null dichter werden und die geringste Energie erhältst du für $$n = 1$$​.

Beispiel

Mithilfe der Bedingung für die Kreisbahnen und den Gesetzen der klassischen Mechanik kannst du die Radien der Kreisbahnen für das Wasserstoffatom berechnen. Die Zentrifugalkraft muss die Coulombkraft, die der Kern auf das Elektron ausübt, gerade aufheben. Ein Wasserstoffatom hat ein Proton mit einer Elementarladung e und ein Elektron mit Ladung -e. Damit erhältst du:

​$$F = \dfrac{m_e\cdot v^2}{r} = \dfrac{e^2}{4\pi\cdot\varepsilon_0\cdot r^2} = F_C$$

Aus der Bedingung für die Kreisbahnen kannst du durch Umformen die Geschwindigkeiten der Elektronen auf den jeweiligen Bahnen berechnen.

​$$m_e\cdot v\cdot r = n\cdot\dfrac{h}{2\pi} \quad \Rightarrow \quad v_n = \dfrac{n\cdot h}{2\pi\cdot m_e\cdot r}$$

Wenn du nun die Geschwindigkeiten $$v_n$$​ in die obige Gleichung einsetzt, kannst du nach dem Radius auflösen.

​$$\dfrac{\cancel{m_e}\cdot n^2\cdot h^2}{\cancel{4}\pi^{\cancel{2}}\cdot\cancel{m_e}\cdot r^{\cancel{3}}} = \dfrac{e^2}{\cancel{4\pi}\cdot\varepsilon\cdot\cancel{r^2}} \quad \left| \cdot\dfrac{r\cdot\varepsilon_0}{e^2} \right.$$​​

Damit erhältst du die gesuchten Radien und der kleinste (innerste Kreisbahn) nennt man den Bohr'schen Radius und wird mit $$a_0$$ bezeichnet.

​$$r_n = n^2\cdot\dfrac{\varepsilon_0\cdot h^2}{\pi\cdot m_e\cdot e^2} \quad \Rightarrow \quad \underline{a_0 = r_1 = \dfrac{\varepsilon_0\cdot h^2}{\pi\cdot m_e\cdot e^2} = 5.29\cdot10^{-11}\,m}$$​​