Aktivität, Halbwertszeit und Zerfallsgesetz

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Beim radioaktiven Zerfall wird ein Kern in einen neuen Kern umgewandelt. Es ist nicht möglich, vorherzusagen, wann genau ein solcher Atomkern zerfällt. Jedoch kann die Zeit bestimmt werden, in der die Hälfte einer bestimmten Anzahl N Atomkerne zerfällt. Diese wird Halbwertszeit $$T_{1/2}$$ genannt und ist für ein Präparat mit gleichen Atomkernen charakteristisch. Alle Halbwertszeiten findest Du in der Nuklidkarte (siehe Bild unten).

Zerfallsgesetz

Um herauszufinden, wie viele Kerne eines Präparats nach einer gewissen Zeit noch vorhanden sind, wird das Zerfallsgesetz angewendet.

Liegt zum Zeitpunkt t = 0 eine Anzahl Atomkerne N(0) eines radioaktiven Präparats vor, dann sind zum Zeitpunkt t nur noch N(t) Kerne vorhanden.

​$$N(t) = N(0) \cdot e^{-\lambda \cdot t}$$

Mit der Zerfallsrate $$\lambda = \frac{\mathrm{ln}(2)}{T_{1/2}}$$ für das jeweilige Präparat und der Halbwertszeit  $$T_{1/2}$$ ergibt sich:

​$$N(t) = N(0) \cdot 2^{-\frac {t}{T_{1/2}}}$$​​​

Beispiel

Ein $$^{235}_{92}\mathrm{U}$$​ Präparat mit einem Gewicht von 50 g besitzt etwa $$N(0) = \frac{50}{235} \cdot 6{,}022 \cdot 10^{23} = 1{,}28 \cdot 10^{23}$$ Kerne. Uran-235 hat eine Halbwertszeit von $$6{,}5 \cdot 10^8$$​ Jahren. Wie viele Kerne sind nach $$t = 1{,}3 \cdot 10^9$$ Jahren zerfallen?

Gegeben: Anzahl Kerne zum Zeitpunkt $$t = 0$$​: $$N(0) = 1{,}28 \cdot 10^{23}$$, die Halbwertszeit: $$T_{1/2} = 6{,}5 \cdot 10^8$$ Jahre, Zeit $$t = 1{,}3 \cdot 10^9$$ Jahre

Gesucht: Anzahl der zerfallenen Kerne nach der Zeit t.

Lösung:

Zuerst bestimmen wir die Anzahl Kerne, welche noch nicht zerfallen sind.

$$\begin{aligned}N(t=1{,}3\cdot10^9\,\mathrm{a}) &= N(0) \cdot e^{-\lambda \cdot t} \\&= N(0)\cdot 2^{-\frac {t}{T_{1/2}}}\\&= N(0) \cdot 2^{-\frac{1{,}3 \cdot 10^9 \mathrm{a}}{6{,}5\cdot10^8 \mathrm{a}}}\\&= N(0) \cdot 2^{-2}\\&= N(0) \cdot \frac{1}{4}\end{aligned}$$​​

Es ist nur noch ein Viertel der ursprünglichen Kerne erhalten, das bedeutet, dass 75 % der Kerne zerfallen sind, also $$0{,}75 \cdot 1{,}28\cdot10^{23}=0{,96}\cdot10^{23}$$​​ Kerne sind zerfallen.

Aktivität

Die Aktivität A(t) gibt an, wie viele der Kerne in einer gewissen Zeit zerfallen:

​$$A(t) = - \frac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t} = \lambda \cdot N(t)=\lambda \cdot N(0) \cdot e^{-\lambda \cdot t} = A(0) \cdot 2^{{-\frac {t}{T_{1/2}}}}$$​​

​Die Einheit der radioaktiven Aktivität ist Becquerel (Bq) mit 1 Bq = 1 Zerfall pro Sekunde.

Beispiel

Nun bestimmen wir die Aktivität des Uran-235-Präparats aus dem obigen Beispiel zum Zeitpunkt $$t = 1{,}3 \cdot 10^9 \mathrm{a}$$.

Gegeben: Anzahl der Kerne, die in dieser Zeit nicht zerfallen sind: $$N(t=1{,}3\cdot10^9\,\mathrm{a}) = N(0) \cdot \frac{1}{4} = 3{,}2 \cdot 10^{22}$$​, Zerfallsrate $$\lambda = \frac{\mathrm{ln}(2)}{T_{1/2}} = \frac{\mathrm{ln}(2)}{6{,}5 \cdot 10^8 \mathrm{a}}$$

Gesucht: Aktivität A(t) nach $$t = 1{,}3 \cdot 10^9 \mathrm{a}$$​.

Lösung:

Zuerst rechnen wir die Halbwertszeit von Jahren in Sekunden um, damit wir den Wert in der richtigen Einheit haben:

$$T_{1/2} = (6{,}5 \cdot 10^8 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600) s = 2{,}05 \cdot 10^{16} s$$​​

Nun können wir die Aktivität bestimmen:

​$$\begin{aligned}A(t=1{,}3\cdot10^9\,\mathrm{a}) &= \lambda \cdot N(t)\\ &= \frac{\mathrm{ln}(2)}{2{,}05\cdot 10^{16} s}\cdot 3{,}2 \cdot 10^{22}\\ &= 1\space081\space985\: \mathrm{Bq} \end{aligned}$$

Interessant:

Wenn Du die Aktivität in Deiner Umgebung messen würdest, könntest Du schnell feststellen, dass auch Du strahlst. Das heisst, auch unser Körper wandelt Kerne um. Die Aktivität eines menschlichen Körpers ist ungefähr 130 Bq/kg. Auch in Deiner Nahrung kannst Du eine Aktivität von ca. 40 Bq/kg feststellen. 

​ Zerfallstypen: 1. $$\beta^+$$​​ 2. $$\beta^-$$​​ 3. $$\alpha$$​​ 4. Fission 5. Proton 6. Neutron 7. stabil 8. unbekannt