Geschwindigkeit und (Richtungs-)Änderung

Wenn man die Bewegungen von Körpern untersucht und diese vergleicht, so kann man nicht nur die Strecken und die Zeiten vergleichen, welche solche Bewegungen benötigen, sondern ebenfalls angeben, wie schnell sich ein Körper bewegt. Physikalisch benötigt man dafür die Grösse Geschwindigkeit. 

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​​​​Definition

Die Geschwindigkeit ist eine gerichtete Grösse, welche angibt, wie viel Zeit ein Körper dafür benötigt, um eine bestimmte Strecke zurückzulegen, beziehungsweise wie weit sich ein Körper in einer bestimmten Zeitspanne fortbewegt. Die Geschwindigkeit trägt das Formelzeichen $$v$$ (englisch: velocity). Sie wird berechnet mithilfe des Quotienten aus dem zurückgelegten Weg und der dabei verstrichenen Zeit: 

​$$v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$$​​

Hinweise: $$\Delta$$ bezeichnet den griechischen Buchstaben "Delta" und wird in der Physik immer für Differenzen verwendet. Bei der Definition der Geschwindigkeit handelt es sich um die Durchschnittsgeschwindigkeit, weil die Geschwindigkeit in den meisten Fällen nicht konstant ist.

Die Geschwindigkeit wird meistens in der Einheit $$\frac{km}{h}$$ (Kilometer pro Stunde) oder in der Einheit $$\frac{m}{s}$$ (Meter pro Sekunde) angegeben. Es gilt:

$$\begin{aligned}\underline{1 \ \frac{km}{h}}&= 1 \ 000 \ \frac{m}{h}= \frac{1 \ 000}{60} \ \frac{m}{min}=\frac{1\ 000}{60 \cdot 60} \ \frac{m}{s}= \frac{5}{18} \ \frac{m}{s} \approx \underline{0{,}28 \ \frac{m}{s}}\\\underline{1 \ \frac{m}{s}} &= 60 \ \frac{m}{min}= 60 \cdot 60\ \frac{m}{h}= \frac{3600}{1000} \ \frac{km}{h} =\underline{3{,}6 \ \frac{km}{h}}\end{aligned}$$​​

Mit dieser physikalischen Grösse kann man unter anderem auch Bewegungen miteinander vergleichen, die auf unterschiedlich langen Strecken und für unterschiedliche Zeitintervalle ablaufen:

Beispiel: 

Zwei Freunde treffen sich und vergleichen ihre Jogging-Erlebnisse miteinander. Paul erzählt, dass er am Wochenende in einer Stunde $$4$$ Kilometer gelaufen ist. Mark hingegen berichtet, dass er am selben Wochenende in $$15$$ Minuten einen Kilometer gelaufen ist. Des Weiteren behauptet er, dass er zwar nicht so weit gelaufen sei wie Paul, dafür aber schneller. Hat er recht?

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​$$\begin{aligned}\underline{v_{\text{Paul}}}&=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{4 \ km}{1 \ h}=\underline{ 4 \ \frac{km}{h}}\\\underline{v_{\text{Mark}}}&= \frac{\Delta x}{\Delta t}= \frac{1 \ km}{15 \ min}=\frac{1 \ km}{0,25 \ h}= \underline{4 \ \frac{km}{h}}\end{aligned}$$​​

Wie man an den Durchschnittsgeschwindigkeiten der beiden Läufer sehen kann, waren die beiden gleich schnell unterwegs. Mark hat demnach unrecht mit seiner Aussage.

Typische Beispielgeschwindigkeiten

Gerichtete Geschwindigkeit

Zu der physikalischen Grösse Geschwindigkeit gehören immer zwei Informationen: Der Betrag der Geschwindigkeit und die Richtung, in welche sich der Körper mit dieser Geschwindigkeit bewegt. 

Wenn die Geschwindigkeit als eine gerichtete Grösse zu verstehen ist, so wird dies durch einen Pfeil auf dem Formelzeichen ausgedrückt: $$\overrightarrow{v}$$

Die Richtung kann einen grossen Unterschied machen. Stell Dir dazu folgende Situation vor: Auf einer Strasse fahren zwei Autos und das eine Auto befindet sich vor dem anderen Auto. Wenn nun im ersten Szenario das vordere Auto und das hintere Auto beide in dieselbe Richtung, mit derselben Geschwindigkeit die Strasse entlang fahren, dann passiert weiter nichts. Wenn jedoch aber im zweiten Szenario die Bewegungsrichtung der beiden Autos so ausgelegt ist, dass diese aufeinander zu fahren, dann kommt es irgendwann zu einem Zusammenstoss. 

Auch hier ist die Geschwindigkeit wichtig, denn wenn im ersten Szenario das hintere Auto deutlich schneller fährt als das vordere (also eine grössere Geschwindigkeit hat), so kommt es auch irgendwann zu einem Crash.

Man kann Geschwindigkeiten mit Pfeilen (Vektoren) darstellen. Der Pfeil hat seinen Ursprung in der momentanen Position des Gegenstandes und die Richtung, in welche der Pfeil zeigt, gibt die Bewegungsrichtung an. Unterschiedlich lange Pfeile stehen hierbei für unterschiedlich grosse Geschwindigkeiten. Längere Pfeile repräsentieren also grössere Geschwindigkeiten. Dabei sollte man allerdings immer den Massstab beachten.

Beispiel:

Paul und Mark sind beide im Stadtpark unterwegs. Sie überqueren zur selben Zeit einen grossen Platz im Park, allerdings kommen sie aus verschiedenen Richtungen und sind mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten unterwegs (Paul läuft und Mark fährt mit dem Rad). Die Situation ist in einer Skizze dargestellt. Werden sich die beiden begegnen?

Wichtig ist, dass man hier auf den Massstab achtet: Mark ist fünfmal so schnell wie Paul, das sieht man zum Beispiel an den Pfeilen.

Ja, Paul und Mark werden sich im Park begegnen. 

Mit dieser Methode lassen sich auf zukünftige Positionen vorhersagen und Bewegungsabläufe rekonstruieren (sofern die Geschwindigkeiten konstant bleiben). 

Eine weitere Möglichkeit, die Geschwindigkeit eines Objektes zu bestimmen ist es, wenn man zwei Fotos von der Bewegung des Gegenstandes zu unterschiedlichen Zeiten hat und weiss, wie viel Zeit zwischen den beiden Aufnahmen vergangen ist. Diese Methode wird unter anderem im Sport benutzt, wenn bestimmt wird, wie schnell sich ein Tennisball nach einem Schlag durch die Luft bewegt.

Beispiel:

Aus den beiden Fotos soll die Geschwindigkeit berechnet werden, mit welcher sich die beiden Autos bewegen. Es ist bekannt, dass die beiden Fotos im Abstand von einer Sekunde aufgenommen wurden. Die Skala zeigt Meter. 

Das blaue Auto hat in der einen Sekunde $$10 \ m$$ zurückgelegt, daher fährt es mit einer Geschwindigkeit von $$v=\frac{10 \ m}{1 \ s }=10 \ \frac{m}{s}=36 \ \frac{km}{h}$$. 

Das rote Auto hat in der einen Sekunde $$5{,}5 \ m$$ zurückgelegt, daher fährt es mit einer Geschwindigkeit von $$v=5{,}5 \ \frac{m}{s}=19{,}8 \ \frac{km}{h}$$​​

(Richtungs)-Änderung der Geschwindigkeit

Durch Krafteinwirkung lässt sich die Richtung eines sich bewegenden Gegenstands ändern. Beispielsweise passiert das im Fussball bei einem Schuss, wenn dem Spieler der Ball zuvor zugepasst wurde. Auch die Geschwindigkeit lässt sich ändern. Das lernst Du später unter dem Thema "Beschleunigung".

Auch die Richtungsänderung lässt sich gut mit Pfeilen darstellen:

Vorgehen

Beispiel

Einem Fussballspieler wird ein Ball zugepasst. Er möchte nun ein Tor schiessen. In welche Richtung und mit welcher Geschwindigkeit muss er den Ball treten, damit er ein Tor erzielen kann?

In der Skizze ist bereits der gewünschte weitere Weg des Balls eingezeichnet. Der blaue Pfeil entspricht einer Geschwindigkeit von $$v_1=3{,}5 \ \frac{m}{s}$$​

Es wird wie oben beschrieben vorgegangen:

Misst man den resultierenden Pfeil aus, so erkennt man, dass der Ball mit einer Geschwindigkeit von $$\Delta v=5 \ \frac{m}{s}$$​  gerade nach vorne (im Bild nach oben) geschossen werden muss.

et bewegt. An diesem Ort beginnt der Pfeil. Die Pfeilspitzbeweistyp die

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