Operazioni con gli insiemi

Unione di insiemi

Dati due insiemi $$A$$ e $$B$$ si dice unione di $$A$$ e $$B$$ l'insieme $$A \cup B$$ che contiene tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno tra $$A$$ e $$B$$.

Fanno cioè parte di $$A \cup B$$ tutti gli elementi solo di $$A$$, solo di $$B$$ e quelli in comune tra $$A$$ e $$B$$.
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Esempio ​$$A= \lbrace multipli \ di \ 2 \rbrace =\lbrace 0;2;4;6;8;10;12... \rbrace$$ $$B= \lbrace multipli \ di \ 3 \rbrace =\lbrace 0;3;6;9;12... \rbrace$$ $$A \cup B= \lbrace multipli \ di \ 2 \ oppure \ di \ 3\rbrace =\lbrace 0;2;3;4;6; 9;... \rbrace$$

Proprietà

Per l'unione di insiemi valgono le seguenti proprietà:

• ​$$A \cup B = B \cup A$$;
• $$A \cup A =A= A \cup \varnothing$$;
• se $$C$$ è un sottoinsieme di $$A$$ allora $$A \cup C=A$$;
• se $$C \sube A$$ e $$E \sube A$$ allora $$C \cup E \sube A$$;
• $$(A\cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$$.

Intersezione di insiemi

Dati due insiemi $$A$$ e $$B$$ si dice intersezione di $$A$$ e $$B$$ l'insieme $$A \cap B$$ che contiene tutti e soli gli elementi che appartengono sia ad $$A$$ che a $$B$$.

Fanno cioè parte di $$A \cap B$$ tutti gli elementi sia di $$A$$ che di $$B$$.

Se $$A \cap B = \varnothing$$​ allora $$A$$ e $$B$$ si dicono disgiunti.

Esempio ​$$A= \lbrace multipli \ di \ 2 \rbrace =\lbrace 0;2;4;6;8;10;12... \rbrace$$ $$B= \lbrace multipli \ di \ 3 \rbrace =\lbrace 0;3;6;9;12... \rbrace$$ ​$$A \cap B= \lbrace multipli \ sia \ di \ 2 \ che \ di \ 3\rbrace =\{ multipli \ di \ 6\}=\lbrace 0;6; 12; 18;... \rbrace$$

Proprietà

Per l'intersezione di insiemi valgono le seguenti proprietà:

• ​$$A \cap B = B \cap A$$;
• ​$$A \cap A =A$$;
• $$A \cap \varnothing =\varnothing$$;
• se $$C$$ è un sottoinsieme di $$A$$ allora $$A \cap C = C$$;
• se $$A \sube D$$ e $$A \sube E$$ allora $$A \sube D \cap E$$;
• $$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$$;
• $$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$$;
• $$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$$.

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Differenza di insiemi

Dati due insiemi $$A$$ e $$B$$ si dice differenza tra $$A$$ e $$B$$ l'insieme $$A \setminus B$$ che contiene tutti gli elementi che appartengono ad $$A$$ ma non a $$B$$.

In formule:  $$A \setminus B = \lbrace a\isin A: a \notin B \rbrace$$​.​​

Esempio ​$$A= \lbrace multipli \ di \ 2 \rbrace =\lbrace 0;2;4;6;8;10;12... \rbrace$$ $$B= \lbrace multipli \ di \ 3 \rbrace =\lbrace 0;3;6;9;12... \rbrace$$ $$A \setminus B= \lbrace multipli \ di \ 2 \ e \ non\ di \ 3\rbrace =\lbrace 0;2;4;8;10;14... \rbrace$$

Proprietà

Per la differenza di insiemi valgono le seguenti proprietà:

• $$A \setminus A = \varnothing$$;
• $$A \setminus \varnothing = A$$;
• se $$A \sube B$$ allora $$A \setminus B = \varnothing$$;
  
• in generale $$A \setminus B \not= B \setminus A$$​

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Complementare di un insieme

Dato un insieme $$A$$ e un insieme $$B$$ che è un suo sottoinsieme si dice complementare di $$B$$ in $$A$$ l'insieme $$A \setminus B = \overline B$$ che contiene tutti i soli elementi di $$A$$ che non sono contenuti in $$B$$.

In formule: 

$$\overline B = \lbrace a \in A: a \notin B \rbrace$$

Esempio ​$$A= \lbrace multipli \ di \ 2 \rbrace =\lbrace 0;2;4;6;8;10;12... \rbrace$$ $$B= \lbrace multipli \ di \ 4 \rbrace =\lbrace 0;4;8;12;16... \rbrace$$ $$\overline B = \lbrace multipli \ di \ 2 \ ma \ non \ di \ 4 \rbrace =\lbrace 0;2;6;10;14... \rbrace$$​​​​

Il prodotto cartesiano 

​Dati due insiemi $$A$$​​ e $$B$$​ il prodotto cartesiano tra $$A \times B$$​​  è l'insieme delle coppie ordinate $$(a;b)$$​​ tali che $$a \in A$$​ e $$b \in B$$​.​​