L'insieme e la sua rappresentazione

Definizione

Un insieme è un raggruppamento di oggetti per cui esiste un criterio oggettivo che identifica se un qualunque elemento vi appartiene o meno.

Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole.

Esempio

"Le persone nate a Novembre 2021" è un insieme, perché è un criterio oggettivo per il raggruppamento.

"I musei più belli" non è un insieme, perché non è un criterio oggettivo per il raggruppamento.

Gli elementi di un insieme

Gli elementi che appartengono ad un determinato insieme si chiamano elementi dell'insieme e si indicano con le lettere minuscole.

Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme si usa il simbolo $\in$ .

Per indicare che un elemento non appartiene ad un insieme si usa il simbolo $\notin$ .

Esempio

$x \in A$ significa che $x$ appartiene all'insieme $A$

$x \notin B$ significa che $x$ non appartiene all'insieme $B$ 

Definizioni

Insieme finito: un insieme che contiene un numero finito di elementi;
insieme infinito: un insieme che contiene un numero infinito di elementi.
Insieme vuoto: un insieme che non contiene elementi, che si indica con $\varnothing$ .

Le rappresentazioni di un insieme

La rappresentazione grafica

Si usano i diagrammi di Eulero Venn: un tipo di rappresentazione che prevede di disegnare gli insiemi tramite una linea chiusa non intrecciata, gli elementi che vi appartengono sono scritti all'interno ed eventuali elementi che non vi appartengono a cui si vuole dare rilevanza sono scritti all'esterno (l'esterno diventa l'insieme universo che contiene l'insieme finito che si sta rappresentando).

Ogni insieme che si vuole rappresentare può essere descritto da un diagramma di Eulero Venn, per cui più insiemi possono anche interagire tra loro per esempio intersecandosi o tramite sottoinsiemi.

Esempio

Presi i numeri naturali fino a $10$ escludendo lo $0$ , sia $A$ l'insieme che contiene il primo numero pari e i numeri dispari a meno del primo e dell'ultimo e $B$ l'insieme dei soli numeri pari.

$Insieme \ universo = \lbrace 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 \rbrace$ ;

$A= \lbrace 2;3;5;7 \rbrace$ ;

$B= \lbrace 2;4;6;8;10 \rbrace$ .

Si disegna l'insieme universo come un rettangolo, questo contiene la rappresentazione di Venn dei due insiemi $A$ e $B$ che si intersecano e i cui elementi sono segnati all'interno e all'esterno.

Matematica; Insiemi e logica; 1a superiore; L'insieme e la sua rappresentazione

La rappresentazione per elencazione (o tabulare)

Gli elementi vengono elencati tra parentesi graffe e separati da virgole, non è rilevante l'ordine e non devono esserci ripetizioni di elementi.

Esempio

L'insieme $A$ è l'insieme delle province della Puglia, la sua rappresentazione tabulare è: $A=\lbrace Foggia;Barletta-Andria-Trani;Bari;Taranto;Brindisi;Lecce \rbrace$ .

La rappresentazione mediante la proprietà caratteristica

L’insieme è definito tramite il criterio che caratterizza in modo univoco e oggettivo ogni elemento che gli appartiene.

Esempio

L'insieme $A$ è l'insieme delle province della Puglia, la sua rappresentazione mediante proprietà caratteristica è: $A=\lbrace x | x \ è \ una \ provincia \ in \ Puglia \rbrace$ .