Le proprietà del triangolo isoscele

Definizione

Un triangolo si definisce isoscele quando ha due lati congruenti.

Il lato non congruente è indicato come base, mentre i lati congruenti sono detti lati obliqui.

Gli angoli compresi tra la base e un lato obliquo sono detti angoli alla base. L'angolo opposto alla base è detto angolo al vertice.

Matematica; Geometria piana; 1a superiore; Le proprietà del triangolo isoscele

Teorema del triangolo isoscele

Se un triangolo è isoscele, allora ha due angoli congruenti.

Dimostrazione

1.

Dato un triangolo isoscele su base

AC

si traccia la bisettrice dell'angolo al vertice

\hat{B}

.

Matematica; Geometria piana; 1a superiore; Le proprietà del triangolo isoscele

2.

Si chiama

H

l'intersezione della bisettrice con la base.

3.

Si considerano i triangoli

AHB

e

CHB

, che hanno:

$BH$ in comune;
$AB \cong CB$ per l'ipotesi di triangolo isoscele;
$A\hat{B}H \cong C\hat{B}H$ per costruzione;

quindi $AHB \cong CHB$ per il primo criterio di congruenza.

Di conseguenza $H\hat{A}B \cong H\hat{C}B$ , come volevasi dimostrare.

Ricorda: il primo criterio di congruenza dice che due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l'angolo tra loro compreso congruenti.

Nota bene: gli angoli congruenti sono proprio gli angoli alla base.

Teorema inverso del triangolo isoscele

Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele.

In formule: $se\ \hat{A} \cong \hat{B}, allora\ AC \cong BC$ .

La bisettrice nel triangolo isoscele

Teorema

Se un triangolo è isoscele, allora la bisettrice dell'angolo al vertice è anche mediana e altezza rispetto alla base.

Dimostrazione

1.

Dato un triangolo isoscele su base

AC

si traccia la bisettrice dell'angolo al vertice

\hat{B}

.

Matematica; Geometria piana; 1a superiore; Le proprietà del triangolo isoscele

2.

Si chiama

H

l'intersezione della bisettrice con la base.

3.

Si considerano i triangoli $AHB$ e $CHB$ , che hanno:

$BH$ in comune;
$AB \cong CB$ per l'ipotesi di triangolo isoscele;
$A\hat{B}H \cong C\hat{B}H$ per costruzione;

quindi $AHB \cong CHB$ per il primo criterio di congruenza.

Di conseguenza $AH \cong CH$ , quindi $BH$ è la mediana relativa ad $AC$ .

Inoltre gli angoli $A\hat{H}B$ e $C\hat{H}B$ sono supplementari oltre che congruenti, per questo entrambi retti, quindi $BH$ è anche altezza relativa ad $AC$ .

Le proprietà del triangolo equilatero

Il triangolo equilatero è in primo luogo un triangolo isoscele, quindi dai precedenti teoremi è possibile ricavare direttamente i seguenti corollari.

1° Corollario	Se un triangolo è equilatero allora ha tutti gli angoli congruenti e viceversa.
2° Corollario	In un triangolo equilatero ogni bisettrice è anche mediana e altezza relativa al lato opposto.