I sottoinsiemi

Definizioni

​$$B$$ è un sottoinsieme di $$A$$ se tutti gli elementi di $$B$$ appartengono anche ad $$A$$. In formule: $$B\sube A$$, cioè "$$B$$ è contenuto in $$A$$".​

Se $$A$$ e $$B$$ hanno esattamente gli stessi elementi allora si dice che sono insiemi uguali $$A = B$$, altrimenti $$A \not= B$$.

Ricorda: per verificare se $$A=B$$ bisogna controllare che $$B \sube A$$ e $$A \sube B$$.

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L'inclusione stretta

Se $$B \sube A$$ ma $$B \not = A$$ allora $$B$$ è strettamente incluso in $$A$$, cioè che $$B$$​ contiene elementi di $$A$$ ma non tutti gli elementi di $$A$$ sono in $$B$$. In formule: $$B \sub A$$, cioè $$B$$ è contenuto strettamente in $$A$$.​

I sottoinsiemi propri e impropri 

Per un insieme $$A$$ qualsiasi sono sempre vere le seguenti affermazioni:

• ​$$\varnothing \sub A$$ cioè l'insieme vuoto è incluso in qualsiasi insieme perché il vuoto può essere pensato come elemento di ogni insieme;
  
• ​$$A \sube A$$ cioè ogni insieme è contenuto interamente ed è quindi uguale a sè stesso per il principio di identità. 

L'insieme vuoto e l'insieme stesso si dicono, per ogni insieme, suoi sottoinsiemi impropri.

Ogni altro sottoinsieme non vuoto e non identico, cioè strettamente incluso, si dice invece sottoinsieme proprio.

Esempio

Al compleanno di Chiara sono invitati i suoi compagni di classe e nessuno vuole perdersi questa occasione: Giulio, Marco, Marta, Ibrahim, Alex, Ilaria e Mary. 

$$A= \lbrace presenti \ alla \ festa \ di \ Chiara \rbrace = \lbrace Giulio; \ Marco; \ Marta; \ Ibrahim; \ Alex; \ Ilaria; \ Mary; \ Chiara \rbrace$$ è un insieme;

$$B= \lbrace amici \ con \ un \ indumento \ rosa \ presenti \ alla \ festa \ di \ Chiara \rbrace = \lbrace Giulio; \ Marta; \ Alex; \ Ilaria; \ Chiara \rbrace$$.

Si può dire che:

• $$B \sube A$$ ma $$B \not = A$$ allora $$B \sub A$$ cioè è un sottoinsieme proprio;
• $$\varnothing \sub A$$ che è un sottoinsieme improprio;
• $$A \sube A$$ che è un sottoinsieme improprio.