Proposizioni logiche

Valori di verità delle proposizioni

Le proposizioni logiche sono delle frasi alle quali è possibile attribuire un valore di verità, cioè di cui è possibile affermare con certezza se sono vere oppure false.

Le proposizioni si denominano usando le lettere maiuscole e si indica il loro valore di verità con $$V$$ se l'enunciato è vero e con $$F$$ se l'enunciato è falso.

Non sono proposizioni logiche le domande, i comandi, le previsioni sul futuro (come ad esempio quelle metereologiche).

Esempi

$$A=$$​"Domani farà freddo" non è una proposizione logica.

$$B=$$​"I numeri pari sono divisibili per $$2$$" è una proposizione logica ed è una proposizione logica vera ($$V$$).

$$C=$$​"I gatti hanno le ali" è una proposizione logica ed è una proposizione logica falsa ($$F$$).

Connettivi logici ed espressioni

Definizioni

Le frasi singole si chiamano proposizioni semplici mentre una sequenza di proposizioni semplici connesse tra loro si chiamano proposizioni composte (o molecolari o espressioni logiche).

I connettivi con cui si legano le proposizioni semplici per formare le proposizioni composte sono: $$"e"$$, $$"o"$$, $$"non"$$, $$"se...allora"$$, $$"se \ e \ solo \ se"$$. Le espressioni logiche sono a loro volta delle proposizioni a cui è possibile attribuire un valore di verità.

Esempi

$$A=$$ "Oggi Alice era in classe" è una proposizione semplice vera,

​$$B=$$ "Oggi Marco non era in classe" è una proposizione semplice vera,

$$C=$$ "Oggi Alice era in classe $$e$$ Marco era in classe" è una proposizione composta falsa.

Date due proposizioni $$A$$ e $$B$$ si può operare con i seguenti connettivi:

Per ogni connettivo è possibile scrivere la sua tabella di verità, cioè una tabella in cui, noti i valori di verità delle proposizioni di partenza, si definisce il valore di verità della proposizione composta formata da quel connettivo logico che lega le proposizioni iniziali presentando tutti i casi possibili.

Le espressioni logiche

Più proposizioni legate da connettivi si chiamano proposizioni logiche, poiché ci sono più connettivi è necessario, come accade con le operazioni, dare delle precedenze da rispettare, a meno di parentesi l'ordine è: $$negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione, coimplicazione$$.

Definizioni

Equivalenza: due espressioni logiche si dicono equivalenti se hanno la stessa tabella di verità.

Tautologia: proposizioni composte sempre vere.

Contraddizioni: proposizioni composte sempre false.