Cônes : patrons, formules et méthode

Patron

Propriétés importantes du patron :

• La base est un cercle de rayon $$r$$​.
  
• La face latérale est un secteur d’angle $$\alpha$$​ et de rayon $$l=\sqrt{h^2+r^2}$$​.
  

Formules

Note : $$l,h$$ et $$r$$ forment un triangle rectangle dont $$l$$ est l’hypoténuse.

Volume

$$V=\frac{h\pi r^2}{3}$$​​

Surface

$$A =\underbrace{A_{base}}_{aire\ de\ la\ base}+\underbrace{AL}_{aire\ de\ la\ face\ latérale}$$​​

​$$=\pi r^2+\pi l^2\times\frac{\alpha}{360}$$​​

​$$=\ \pi r^2+\pi\times(h^2+r^2)\times\frac{\alpha}{360}$$​​

Note : Dans cette formule, $$\alpha$$ est mesuré en degrés. 

Exemple 

Cône avec rayon de $$5cm$$​, hauteur de $$7cm$$​ et angle du secteur de la face latéral de $$257°$$​.

Volume :

$$V=\frac{7\ cm\ \times\pi\times5^{2\ }{cm}^2}{3}\approx\underline{183,26\ cm^3}$$​​

Surface :

$$A=\pi\times5^2{cm}^2+\pi\times\left(7^2{cm}^2+5^2{cm}^2\right)\times\frac{257°}{360°}≈\underline{244,5 cm^2}$$​​

Méthode pour les exercices types

Calculer les volumes de solides complexes

MÉTHODE

Exemple 

Calcule le volume du solide suivant :

Sections :

Cône : 

$$\frac{3\ cm\times\pi\times{4,5}^2\ {cm}^2}{3}\approx63,6\ cm^3$$​​

Cylindre : 

$$3\ cm\times\pi\times{4,5}^2\ {cm}^2\approx190,8\ cm^3$$​​

Pavé droit : 

$$3\ cm\times9\ cm\times9\ cm=243\ cm^3$$​​

Volume total : 

$$63,6{\ cm}^3+190,8\ {cm}^3+243\ {cm}^3=\underline{497,4\ cm^3}$$​​