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Mathématiques

Triangles : théorème de Thalès

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Résumé

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Triangles : théorème de Thalès

Contexte

Le théorème de Thalès utilise la similitude pour établir des rapports entre les longueurs de deux triangles semblables.

Le théorème de Thalès est généralement appliqué lorsque :

Deux droites passent par un point S.
Les deux droites sont coupées par deux droites parallèles (AC et BD).

Triangles emboîtés

Mathématiques; Triangles; 4e; Triangles : théorème de Thalès

Configuration papillon

Théorème – triangles emboîtés

1^er cas

Droites passant par S :

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$	$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$
$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$	$\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}$

2^ème cas

Droites passant par S et parallèles :

\frac{s}{r}=\frac{a+b}{a}

\frac{s}{r}=\frac{c+d}{c}

Théorème – configuration papillon

1^er cas

Droites passant par S :

$\frac{a}{d}=\frac{c}{b}$	$\frac{d}{a}=\frac{b}{c}$
$\frac{a+d}{d}=\frac{b+c}{b}$	$\frac{a+d}{a}=\frac{b+c}{c}$

2^ème cas

Droites passant par S et parallèles :

\frac{r}{s}=\frac{a}{d}

\frac{r}{s}=\frac{c}{b}

Appliquer le théorème de Thalès

Souvent il faut déterminer les longueurs manquantes de deux triangles donnés.

MÉTHODE

Choisis une formule où au moins trois longueurs sur quatre sont données.

On cherche à calculer la quatrième.

Pose l’équation donnée par la formule en utilisant les valeurs données.

Résous l’équation pour calculer la valeur inconnue.

Exemple

Calcule la valeur du côté $a$ :

Trouve une formule du théorème de Thalès où trois des quatre valeurs sont données.

Formule :

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Pose l’équation :

$\frac{a}{9}=\frac{2}{3}$ 

Résous-en $a$ :

$a=6$ 

Appliquer la réciproque du théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès permet de déterminer si deux droites dans une configuration papillon ou de triangles emboîtés sont parallèles.

MÉTHODE

Choisis une formule où au moins $4$ des longueurs sont données.

On cherche à déterminer si deux droites sont parallèles.

Vérifie les égalités du théorème de Thalès.

Exemple

Vérifie si les droites  $r$  et  $s$  sont parallèles :

Choisis la formule à utiliser.

Formule :

$\frac{a}{d}=\ \frac{c}{b}$ 

Vérifie les égalités du théorème de Thalès :

$\frac{a}{d}=\frac{3}{2}$ 

$\frac{c}{b}=\frac{6}{4}=\ \frac{3}{2}$ 

Les droites $r$ et $s$ sont parallèles.

Triangles : théorème de Thalès

Contexte

Le théorème de Thalès utilise la similitude pour établir des rapports entre les longueurs de deux triangles semblables.

Le théorème de Thalès est généralement appliqué lorsque :

Deux droites passent par un point S.
Les deux droites sont coupées par deux droites parallèles (AC et BD).

Triangles emboîtés

Configuration papillon

Théorème – triangles emboîtés

1^er cas

Droites passant par S :

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$	$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$
$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$	$\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}$

2^ème cas

Droites passant par S et parallèles :

\frac{s}{r}=\frac{a+b}{a}

\frac{s}{r}=\frac{c+d}{c}

Théorème – configuration papillon

1^er cas

Droites passant par S :

$\frac{a}{d}=\frac{c}{b}$	$\frac{d}{a}=\frac{b}{c}$
$\frac{a+d}{d}=\frac{b+c}{b}$	$\frac{a+d}{a}=\frac{b+c}{c}$

2^ème cas

Droites passant par S et parallèles :

\frac{r}{s}=\frac{a}{d}

\frac{r}{s}=\frac{c}{b}

Appliquer le théorème de Thalès

Souvent il faut déterminer les longueurs manquantes de deux triangles donnés.

MÉTHODE

Choisis une formule où au moins trois longueurs sur quatre sont données.

On cherche à calculer la quatrième.

Pose l’équation donnée par la formule en utilisant les valeurs données.

Résous l’équation pour calculer la valeur inconnue.

Exemple

Calcule la valeur du côté $a$ :

Trouve une formule du théorème de Thalès où trois des quatre valeurs sont données.

Formule :

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Pose l’équation :

$\frac{a}{9}=\frac{2}{3}$ 

Résous-en $a$ :

$a=6$ 

Appliquer la réciproque du théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès permet de déterminer si deux droites dans une configuration papillon ou de triangles emboîtés sont parallèles.

MÉTHODE

Choisis une formule où au moins $4$ des longueurs sont données.

On cherche à déterminer si deux droites sont parallèles.

Vérifie les égalités du théorème de Thalès.

Exemple

Vérifie si les droites  $r$  et  $s$  sont parallèles :

Choisis la formule à utiliser.

Formule :

$\frac{a}{d}=\ \frac{c}{b}$ 

Vérifie les égalités du théorème de Thalès :

$\frac{a}{d}=\frac{3}{2}$ 

$\frac{c}{b}=\frac{6}{4}=\ \frac{3}{2}$ 

Les droites $r$ et $s$ sont parallèles.

Foire aux questions (FAQ)

FAQs

Question : Comment appliquer le théorème de Thalès?

Réponse : Choisis une formule où au moins trois longueurs sur quatre sont données et cherche à calculer la quatrième. Ensuite pose l’équation donnée par la formule en utilisant les valeurs données et résous l’équation pour calculer la valeur inconnue.
Question : Quels sont les différents cas du théorème de Thalès ?

Réponse : Triangle emboités : 1. Droite passant par S 2. Droite passant par S et parallèles Configuration papillon : 1. Droite passant par S 2. Droite passant par S et parallèles
Question : Quand utiliser le théorème de Thalès ?

Réponse : Lorsque deux droites passent par un point S ou lorsque deux droites sont coupées par deux droites parallèles (AC et BD).

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1er cas

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MÉTHODE

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Contexte

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Configuration papillon

Théorème – triangles emboîtés

1er cas

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MÉTHODE

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MÉTHODE

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