Triangles : théorème de Thalès

Contexte

Le théorème de Thalès utilise la similitude pour établir des rapports entre les longueurs de deux triangles semblables.

Le théorème de Thalès est généralement appliqué lorsque :

Deux droites passent par un point S.
Les deux droites sont coupées par deux droites parallèles (AC et BD).

Triangles emboîtés

Mathématiques; Triangles; 4e; Triangles : théorème de Thalès

Configuration papillon

Mathématiques; Triangles; 4e; Triangles : théorème de Thalès

Théorème – triangles emboîtés

1^er cas

Droites passant par S :

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$	$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$
$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$	$\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}$

2^ème cas

Droites passant par S et parallèles :

\frac{s}{r}=\frac{a+b}{a}

\frac{s}{r}=\frac{c+d}{c}

Théorème – configuration papillon

1^er cas

Droites passant par S :

$\frac{a}{d}=\frac{c}{b}$	$\frac{d}{a}=\frac{b}{c}$
$\frac{a+d}{d}=\frac{b+c}{b}$	$\frac{a+d}{a}=\frac{b+c}{c}$

2^ème cas

Droites passant par S et parallèles :

\frac{r}{s}=\frac{a}{d}

\frac{r}{s}=\frac{c}{b}

Appliquer le théorème de Thalès

Souvent il faut déterminer les longueurs manquantes de deux triangles donnés.

MÉTHODE

1.

Choisis une formule où au moins trois longueurs sur quatre sont données.

On cherche à calculer la quatrième.

2.

Pose l’équation donnée par la formule en utilisant les valeurs données.

3.

Résous l’équation pour calculer la valeur inconnue.

Exemple

Calcule la valeur du côté $a$ :

Mathématiques; Triangles; 4e; Triangles : théorème de Thalès

Trouve une formule du théorème de Thalès où trois des quatre valeurs sont données.

Formule :

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Mathématiques; Triangles; 4e; Triangles : théorème de Thalès

Pose l’équation :

$\frac{a}{9}=\frac{2}{3}$ 

Résous-en $a$ :

$a=6$ 

Appliquer la réciproque du théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès permet de déterminer si deux droites dans une configuration papillon ou de triangles emboîtés sont parallèles.

MÉTHODE

1.

Choisis une formule où au moins $4$ des longueurs sont données.

On cherche à déterminer si deux droites sont parallèles.

2.

Vérifie les égalités du théorème de Thalès.

Exemple

Vérifie si les droites  $r$  et  $s$  sont parallèles :

Mathématiques; Triangles; 4e; Triangles : théorème de Thalès

Choisis la formule à utiliser.

Formule :

$\frac{a}{d}=\ \frac{c}{b}$ 

Vérifie les égalités du théorème de Thalès :

$\frac{a}{d}=\frac{3}{2}$ 

$\frac{c}{b}=\frac{6}{4}=\ \frac{3}{2}$ 

Les droites $r$ et $s$ sont parallèles.