Sphères et boules : formules et objets composés

Définition

Une sphère de centre $$O$$​  et de rayon $$r$$​  est l’ensemble des points $$M$$​  de l’espace tels que $${OM}={r}$$​.

Formules

​$$r:rayon\\ d:diamètre\ d=2r$$​​

Volume de la boule

​$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$​​

Aire de la sphère

$$A=4\pi r^2$$​​

Note : La sphère est la surface de la boule.

Exemple  

Boule avec rayon $$4cm$$​.

Volume :

$$V=\frac{4}{3}\times\pi\times4^3\ cm^3\approx\underline{268,1\ cm^3}$$​​

Aire :

$$A=4\times\pi\times4^2\ cm^2\approx\underline{201,1\ cm^2}$$​​

Méthode pour les objets composés

Dans certains exercices, on doit calculer le volume ou l’aire d’objets composés de différents solides et de boules.

MÉTHODE

Note : Suivant le volume ou l’aire recherché(e), il est plus simple de calculer le volume ou l’aire d’un solide simple plus grand puis de soustraire la partie que l’on veut retirer.

Exemple 

Cylindre surmonté d’une demi-boule. Le cylindre et la boule ont tous deux un rayon de $$3cm$$​. Le cylindre fait $$5cm$$​ de haut. Calcule le volume du solide.

Volume du cylindre : 

$$V_{cylindre}=\pi\times\ 3^2\ {cm}^2\times5\ cm\approx141,37\ {cm}^3$$​​

Volume de la demi-boule : 

$$V_{demi-boule}=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\times\pi\times3^3\ {cm}^3\approx56,55\ {cm}^3$$​​

Volume cherché : 

$$V=V_{cylindre}+V_{demi-boule}\approx141,37\ {cm}^3+56,55\ {cm}^3=197,92\ {cm}^3$$​​

Exemple

Un cylindre de $$3cm$$​ de rayon et de $$8cm$$​ de hauteur contient deux boules de chacune $$2cm$$​ de rayon. Calcule le volume qu’il reste de libre dans le cylindre.

Volume du cylindre :

$$V_{cylindre}=\pi\times3^2\ {cm}^2\times8\ cm\approx226,19\ {cm}^3$$​​

Volume d’une boule :

$$V_{boule}=\frac{4}{3}\times\pi\times2^3{cm}^3\approx33,51\ {cm}^3$$​​

Volume cherché :

$$V=V_{cylindre}-2\times V_{boule}=226,19\ {cm}^3-2\times33,51\ {cm}^3=\underline{159,17\ {cm}^3}$$​​