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Sphères et boules : formules et objets composés

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Sphères et boules : formules et objets composés

Définition

Une sphère de centre OO​  et de rayon rr​  est l’ensemble des points MM​  de l’espace tels que OM=r{OM}={r}​.


Formules

Mathématiques; Représenter l'espace; 3e; Sphères et boules : formules et objets composés
r:rayond:diameˋtre d=2rr:rayon\\ d:diamètre\ d=2r​​


Volume de la boule

V=43πr3V=\frac{4}{3}\pi r^3​​


Aire de la sphère

A=4πr2A=4\pi r^2​​


Note : La sphère est la surface de la boule.


Exemple  

Boule avec rayon 4cm4cm.

Volume :

V=43×π×43 cm3268,1 cm3V=\frac{4}{3}\times\pi\times4^3\ cm^3\approx\underline{268,1\ cm^3}​​

Aire :

A=4×π×42 cm2201,1 cm2A=4\times\pi\times4^2\ cm^2\approx\underline{201,1\ cm^2}​​



Méthode pour les objets composés

Dans certains exercices, on doit calculer le volume ou l’aire d’objets composés de différents solides et de boules.


MÉTHODE

1.

Divise le solide total en solides simples (prisme droit, pyramide, boules, etc.) ou partie de solide simple.

2.

Détermine le rayon des boules.

3.

Calculer le volume ou l’aire des différents solides.

4.

Additionne les valeurs individuelles.


Note : Suivant le volume ou l’aire recherché(e), il est plus simple de calculer le volume ou l’aire d’un solide simple plus grand puis de soustraire la partie que l’on veut retirer.


Exemple 

Cylindre surmonté d’une demi-boule. Le cylindre et la boule ont tous deux un rayon de 3cm3cm. Le cylindre fait 5cm5cm de haut. Calcule le volume du solide.

Mathématiques; Représenter l'espace; 3e; Sphères et boules : formules et objets composés

Volume du cylindre : 

Vcylindre=π× 32 cm2×5 cm141,37 cm3V_{cylindre}=\pi\times\ 3^2\ {cm}^2\times5\ cm\approx141,37\ {cm}^3​​

Volume de la demi-boule : 

Vdemiboule=12×43×π×33 cm356,55 cm3V_{demi-boule}=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\times\pi\times3^3\ {cm}^3\approx56,55\ {cm}^3​​

Volume cherché : 

V=Vcylindre+Vdemiboule141,37 cm3+56,55 cm3=197,92 cm3V=V_{cylindre}+V_{demi-boule}\approx141,37\ {cm}^3+56,55\ {cm}^3=197,92\ {cm}^3​​


Exemple

Un cylindre de 3cm3cm de rayon et de 8cm8cm de hauteur contient deux boules de chacune 2cm2cm de rayon. Calcule le volume qu’il reste de libre dans le cylindre.

Mathématiques; Représenter l'espace; 3e; Sphères et boules : formules et objets composés

Volume du cylindre :

Vcylindre=π×32 cm2×8 cm226,19 cm3V_{cylindre}=\pi\times3^2\ {cm}^2\times8\ cm\approx226,19\ {cm}^3​​

Volume d’une boule :

Vboule=43×π×23cm333,51 cm3V_{boule}=\frac{4}{3}\times\pi\times2^3{cm}^3\approx33,51\ {cm}^3​​

Volume cherché :

V=Vcylindre2×Vboule=226,19 cm32×33,51 cm3=159,17 cm3V=V_{cylindre}-2\times V_{boule}=226,19\ {cm}^3-2\times33,51\ {cm}^3=\underline{159,17\ {cm}^3}​​



Mathématiques; Représenter l'espace; 3e; Sphères et boules : formules et objets composés

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Boules : définition et vocabulaire

Foire aux questions (FAQ)

FAQs

  • Question : Qu'est-ce qu'une sphère?

    Réponse : Une sphère de centre O et de rayon r est l’ensemble des points M de l’espace tels que OM = r.

  • Question : Comment calculer l'aire de la sphère d'une boule ?

    Réponse : A = 4 x Pi x r^2

  • Question : Comment calculer le volume d'une boule ?

    Réponse : V = 4/3 x Pi x r^3

Théorie

Exercices

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