Sphères et boules : formules et objets composés
Définition
Une sphère de centre O et de rayon r est l’ensemble des points M de l’espace tels que OM=r.
Formules
| r:rayond:diameˋtre d=2r |
Volume de la boule
V=34πr3
Aire de la sphère
A=4πr2
Note : La sphère est la surface de la boule.
Exemple
Boule avec rayon 4cm.
Volume :
V=34×π×43 cm3≈268,1 cm3
Aire :
A=4×π×42 cm2≈201,1 cm2
Méthode pour les objets composés
Dans certains exercices, on doit calculer le volume ou l’aire d’objets composés de différents solides et de boules.
MÉTHODE
1. | Divise le solide total en solides simples (prisme droit, pyramide, boules, etc.) ou partie de solide simple. |
2. | Détermine le rayon des boules. |
3. | Calculer le volume ou l’aire des différents solides. |
4. | Additionne les valeurs individuelles. |
Note : Suivant le volume ou l’aire recherché(e), il est plus simple de calculer le volume ou l’aire d’un solide simple plus grand puis de soustraire la partie que l’on veut retirer.
Exemple
Cylindre surmonté d’une demi-boule. Le cylindre et la boule ont tous deux un rayon de 3cm. Le cylindre fait 5cm de haut. Calcule le volume du solide.
Volume du cylindre :
Vcylindre=π× 32 cm2×5 cm≈141,37 cm3
Volume de la demi-boule :
Vdemi−boule=21×34×π×33 cm3≈56,55 cm3
Volume cherché :
V=Vcylindre+Vdemi−boule≈141,37 cm3+56,55 cm3=197,92 cm3
Exemple
Un cylindre de 3cm de rayon et de 8cm de hauteur contient deux boules de chacune 2cm de rayon. Calcule le volume qu’il reste de libre dans le cylindre.
Volume du cylindre :
Vcylindre=π×32 cm2×8 cm≈226,19 cm3
Volume d’une boule :
Vboule=34×π×23cm3≈33,51 cm3
Volume cherché :
V=Vcylindre−2×Vboule=226,19 cm3−2×33,51 cm3=159,17 cm3
Sphères et boules : formules et objets composés
Définition
Une sphère de centre O et de rayon r est l’ensemble des points M de l’espace tels que OM=r.
Formules
| r:rayond:diameˋtre d=2r |
Volume de la boule
V=34πr3
Aire de la sphère
A=4πr2
Note : La sphère est la surface de la boule.
Exemple
Boule avec rayon 4cm.
Volume :
V=34×π×43 cm3≈268,1 cm3
Aire :
A=4×π×42 cm2≈201,1 cm2
Méthode pour les objets composés
Dans certains exercices, on doit calculer le volume ou l’aire d’objets composés de différents solides et de boules.
MÉTHODE
1. | Divise le solide total en solides simples (prisme droit, pyramide, boules, etc.) ou partie de solide simple. |
2. | Détermine le rayon des boules. |
3. | Calculer le volume ou l’aire des différents solides. |
4. | Additionne les valeurs individuelles. |
Note : Suivant le volume ou l’aire recherché(e), il est plus simple de calculer le volume ou l’aire d’un solide simple plus grand puis de soustraire la partie que l’on veut retirer.
Exemple
Cylindre surmonté d’une demi-boule. Le cylindre et la boule ont tous deux un rayon de 3cm. Le cylindre fait 5cm de haut. Calcule le volume du solide.
Volume du cylindre :
Vcylindre=π× 32 cm2×5 cm≈141,37 cm3
Volume de la demi-boule :
Vdemi−boule=21×34×π×33 cm3≈56,55 cm3
Volume cherché :
V=Vcylindre+Vdemi−boule≈141,37 cm3+56,55 cm3=197,92 cm3
Exemple
Un cylindre de 3cm de rayon et de 8cm de hauteur contient deux boules de chacune 2cm de rayon. Calcule le volume qu’il reste de libre dans le cylindre.
Volume du cylindre :
Vcylindre=π×32 cm2×8 cm≈226,19 cm3
Volume d’une boule :
Vboule=34×π×23cm3≈33,51 cm3
Volume cherché :
V=Vcylindre−2×Vboule=226,19 cm3−2×33,51 cm3=159,17 cm3