Factorisation : simple et double distributivité

Réduire une expression littérale

La distributivité, qu’elle soit simple ou double sert à réduire une expression littérale. En effet on va se servir de leur formule pour factoriser ou développer, suivant si notre expression est un produit à développer ou une somme (ou différence) à factoriser.

Simple distributivité

On parle de simple distributivité lorsqu’il n’y a qu’un seul facteur à distribuer, ici k.

Mathématiques; Factorisation; 3e; Factorisation : simple et double distributivité

Développer

C’est transformer un produit en une somme ou une différence.

Exemple

$-4x(6-3x)$

Développe

$=-4x\times6-4x\times(-3x)$

Réduis

$=\underline{12x^2-24x}$

Factoriser

C’est transformer une somme ou différence en un produit.

Exemple

$5a-15b$

Décompose

$5a-3\times5\times b$

Facteur commun :

$5$

Factorise

$=\underline{5(a-3b)}$

Double distributivité

On parle de double distributivité lorsqu’il y a deux facteurs à distribuer, ici $a$ et $b$ .

Mathématiques; Factorisation; 3e; Factorisation : simple et double distributivité

Développer

En double distributivité, il faut multiplier un par un les deux facteurs de la parenthèse de gauche avec les termes de la parenthèse de droite.

Méthode

1.	Distribue le premier élément de la parenthèse de gauche avec les termes de la parenthèse de droite.
2.	Distribue le deuxième élément de la parenthèse de gauche avec les termes de la parenthèse de droite.
3.	Additionne les distributions.
4.	Réduis au maximum l’expression obtenue.

Exemple

$(2x-3)(5x+7)$

Développe :

Distribue le premier facteur $2x\times5x+2x\times7$
Distribue le deuxième facteur $-3\times5x-3\times7$

Additionne les distributions

$=2x\times5x+2x\times7+(-3\times5x-3\times7)$

Réduis

$=10x^2+14x-15x-21\\=\underline{10x^2-x-21}$

Lien avec la simple distributivité

La double distributivité fonctionne comme la simple distributivité, à la différence qu’ici le facteur est
$k=(a+b)$ .

Démonstration

Simple distributivité	Double distributivité
Facteur : $k$ Développement : $k\times(c+d)=kc+kd$	Facteur : $k=(a+b) $ Développement : $k\times(c+d)=kc+kd$ Remplace $k$ par $(a+b)$ : $(a+b)c+(a+b)d\\=ac+bc+ad+bd$

On retrouve bien la forme développée de la formule de double distributivité.

Factoriser

Dans le cas de la factorisation en double distributivité, le terme commun sera une expression entre parenthèse. Le reste de la méthode ne change pas.

Exemple

$(2x-1)(4x+2)-(2x-1)(x+1)$

Facteur commun :

$(2x-1)$

Factorise

$=(2x-1)((4x+2)-(x+1))$

Réduis

$=(2x-1)(4x+2-x-1)\\=\underline{(2x-1)(3x+1)}$

Note : Ici on retrouve bien la double distributivité.

Cas particulier

Il existe des cas particuliers en double distributivité qui permettent de factoriser ou développer certaines expressions très rapidement. Nous en voyons un dans cette leçon :

Mathématiques; Factorisation; 3e; Factorisation : simple et double distributivité

Ici l’expression de gauche est la forme factorisée, tandis-que l’expression de droite est la forme développée.

Note : Il s’agit d’une des trois identités remarquables, vues dans une autre leçon.

Développer

On part de la forme de gauche ((a+b)(a-b)) et on cherche à obtenir la forme de droite $(a^2-b^2)$ .

Méthode

1.	Identifie les valeurs de $a$ et $b$ correspondant à la forme factorisée $(a+b)(a-b)$ .
2.	Remplace les dans la forme développée $a^2-b^2$ .

Note : Au moment d’identifier a et b, n’oublie pas que $(a+b)(a-b)$ est égal à $(a-b)(a+b)$ .

Exemple

$(2x-5)(2x+5)$

Identifie $a$ et $b$

$a=2x\quad b=5$

Forme développée

$=\underline{4x^2-25}$

Factoriser

On part de la forme de droite $(a^2-b^2)$ et on cherche à obtenir la forme de gauche $((a+b)(a-b))$ .

Méthode

1.	Calcule la racine carrée de chacun des deux termes.
2.	Identifie les valeurs de $a$ et $b$ .
3.	Remplace les dans la forme factorisée $(a+b)(a-b)$ .

Exemple

$16x^2-144$

Identifie $a$ et $b$

$a=\sqrt{16x^2}=4x \quad b=\sqrt{144}$

Forme factorisée

$=\underline{(4x+12)(4x-12)}$