Factorisation : simple et double distributivité

Réduire une expression littérale 

La distributivité, qu’elle soit simple ou double sert à réduire une expression littérale. En effet on va se servir de leur formule pour factoriser ou développer, suivant si notre expression est un produit à développer ou une somme (ou différence) à factoriser. 

Simple distributivité 

On parle de simple distributivité lorsqu’il n’y a qu’un seul facteur à distribuer, ici k. 

Développer 

C’est transformer un produit en une somme ou une différence. 

Exemple 

​$$-4x(6-3x)$$​​

Développe

​$$=-4x\times6-4x\times(-3x)$$​​

Réduis 

​$$=\underline{12x^2-24x}$$​​

Factoriser 

C’est transformer une somme ou différence en un produit. 

Exemple 

​$$5a-15b$$​​

Décompose

​$$5a-3\times5\times b$$​​

Facteur commun :

​$$5$$​​

Factorise

​$$=\underline{5(a-3b)}$$​​

Double distributivité 

On parle de double distributivité lorsqu’il y a deux facteurs à distribuer, ici $$a$$​ et $$b$$​. 

Développer 

En double distributivité, il faut multiplier un par un les deux facteurs de la parenthèse de gauche avec les termes de la parenthèse de droite. 

Méthode 

Exemple 

​$$(2x-3)(5x+7)$$​​

Développe :

• Distribue le premier facteur $$2x\times5x+2x\times7$$​​
• Distribue le deuxième facteur $$-3\times5x-3\times7$$​​

Additionne les distributions 

$$=2x\times5x+2x\times7+(-3\times5x-3\times7)$$​​

Réduis 

$$=10x^2+14x-15x-21\\=\underline{10x^2-x-21}$$​​

Lien avec la simple distributivité 

La double distributivité fonctionne comme la simple distributivité, à la différence qu’ici le facteur est
$$k=(a+b)$$​. 

Démonstration 

 
​

On retrouve bien la forme développée de la formule de double distributivité. 

Factoriser 

Dans le cas de la factorisation en double distributivité, le terme commun sera une expression entre parenthèse. Le reste de la méthode ne change pas. 

Exemple 

​$$(2x-1)(4x+2)-(2x-1)(x+1)$$​​

Facteur commun :

​$$(2x-1)$$​​

Factorise

​$$=(2x-1)((4x+2)-(x+1))$$​​

Réduis

​$$=(2x-1)(4x+2-x-1)\\=\underline{(2x-1)(3x+1)}$$​​

Note : Ici on retrouve bien la double distributivité. 

Cas particulier 

Il existe des cas particuliers en double distributivité qui permettent de factoriser ou développer certaines expressions très rapidement. Nous en voyons un dans cette leçon : 

Ici l’expression de gauche est la forme factorisée, tandis-que l’expression de droite est la forme développée. 

Note : Il s’agit d’une des trois identités remarquables, vues dans une autre leçon. 

Développer 

On part de la forme de gauche ((a+b)(a-b)) et on cherche à obtenir la forme de droite $$(a^2-b^2)$$​. 

Méthode 

Note : Au moment d’identifier a et b, n’oublie pas que $$(a+b)(a-b)$$​ est égal à $$(a-b)(a+b)$$​. 

Exemple 

​$$(2x-5)(2x+5)$$​​

Identifie $$a$$​ et $$b$$​ 

​$$a=2x\quad b=5$$​​

Forme développée 

​$$=\underline{4x^2-25}$$​​

Factoriser 

On part de la forme de droite $$(a^2-b^2)$$​ et on cherche à obtenir la forme de gauche $$((a+b)(a-b))$$​.

Méthode 

Exemple 

​$$16x^2-144$$​​

Identifie $$a$$​ et $$b$$​ 

​$$a=\sqrt{16x^2}=4x \quad b=\sqrt{144}$$​​

Forme factorisée

​$$=\underline{(4x+12)(4x-12)}$$​​