Fonctions : ensemble de définitions, image et graphe

Fonctions

Définitions

Une fonction est une attribution ou une règle qui associe à chaque valeur $$x$$ du premier ensemble exactement une valeur $$y$$​ du second. Les fonctions peuvent souvent être décrites par des expressions algébriques. On distingue la définition de la fonction et l’équation de la fonction.

· $$x$$  prend la valeur de la variable.

·  $$f(x)$$ ou $$y$$ prennent la valeur de l’expression soit de la fonction, dépendante de la variable $$x$$​ .

On appelle $$f(x)$$​ l’image de la valeur $$x$$​, et inversement on appelle $$x$$ un antécédent de $$y=f(x)$$​.

ENSEMBLE DE DÉFINITION

L’ensemble de définitions d’une fonction est constitué de toutes les valeurs pour lesquelles la valeur de la fonction est définie. Le domaine sera par exemple souvent $$D_f=\mathbb{R}$$​  . L’ensemble de définitions est l’ensemble des antécédents de la fonction.

​ENSEMBLE DES IMAGES

L’ensemble des images est un ensemble qui contient toutes les images de la fonction. Il est possible que certains éléments de l’ensemble des images n’aient pas d’antécédent.

Exemple 

GRAPHE D'UNE FONCTION

Pour chaque valeur de $$x$$​ dans le domaine de définition, la paire de valeurs $$(x;f(x))$$​ est marquée dans le système de coordonnées. Tous les points marqués forment le « graphe » de la fonction.

​$$y=x^2-1$$

Note : Lorsqu’on détermine le graphe de la fonction, on calcule suffisamment de paires de valeurs et on complète le graphe en traçant une ligne continue.

POINT SUR LE GRAPHE

Si les coordonnées d’un point $$P(x;y)$$​ satisfont l’équation de la fonction, alors ce point se trouve sur le graphe de la fonction.

Exemple 

Le point $$P(1;0)$$​ se trouve sur le graphe de la fonction $$y=x^2+1-2x$$​ :

​$$1^2+1-2×1=0$$​​