Puissances - Définition, cas spéciaux et simplifier

Définition 

La puissance est le résultat d’un calcul avec un exposant. L’exposant indique combien de fois un nombre doit être multiplié par lui-même pour obtenir la puissance. 

​$$2^3=2\times2\times2=8$$​​

Cas spéciaux 

​​Puissance zéro

On obtient toujours 1.

Exemple 

​$$3^0=1$$

Puissance un

On obtient toujours la base.

Exemple 

​$$4^1=4$$​​

Carré et cube 

Lorsqu’on calcule la puissance 2, on dit qu’on élève « au carré ».
Pour la puissance 3, on parle de « cube ». 

Le carré d’un entier naturel est aussi appelé un carré parfait. 

Exemple 

Les carrés parfaits des bases de 1 à 12 : 

Exposant négatif 

Une puissance négative correspond à l’inverse de la puissance positive. On écrit une fraction en plaçant la base avec l’exposant opposé au dénominateur. 

• L’exposant devient positif. 
• Le coefficient devient le numérateur. 

Exemples 

Simplifier des puissances 

Méthode pour multiplier 

1. Développe les puissances en écrivant la puissance sous forme de facteurs autant de fois que l’indiquent les exposants.​

2. Regroupe l’ensemble des facteurs sous la forme d’une seule puissance.​

Exemple 

Simplifie le produit $$5^5\times5^2$$​. 

​$$5^5\times5^2=(5\times5\times5\times5\times5)\times(5\times5)=5^{5+2}=\underline{5^7}$$​​

Le nombre est en réalité multiplié par lui-même à 7 reprises. 

Méthode pour diviser 

1. Développe les puissances en écrivant la puissance sous forme de facteurs autant de fois que l’indiquent les exposants.​

2. Élimine, en les barrant, les facteurs que tu retrouves à la fois dans le numérateur et dans le dénominateur.​

3. Regroupe l’ensemble des facteurs sous la forme d’une seule puissance.​

Exemple 

Simplifie le quotient $$6^5 ∶6^3$$​. 

​$$\frac{6^5}{6^3}=\frac{\cancel6\times\cancel6\times\cancel6\times6\times6}{\cancel6\times\cancel6\times\cancel6}=6\times6=\underline{6^2}$$​​

Tu peux éliminer le facteur 6 à trois reprises, dans ton numérateur et ton dénominateur. Le nombre est en réalité multiplié par lui-même à 2 reprises.

Tu peux aussi faire : $$\frac{6^5}{6^3}=6^{5-3}=\underline{6^2}$$​