On parle d’homothétie lorsqu’une figure est réduite, agrandie et/ou reflétée. L’homothétie est définie par un centre et un nombre non nul appelé « rapport » de l’homothétie.
Dans une homothétie de rapportk>0, l’alignement et les mesures des angles sont conservés, les longueurs sont multipliées park, les aires sont multipliées park2, et les volumes sont multipliés park3.
Facteur d’homothétie, le rapport
On peut déterminer une constantekqui donne le rapport de grandeur entre la figure originale et son image :
k=LongueuroriginaleLongueurdel′image
Ce rapport reste le même lorsqu’on compare
les longueurs des côtés de la figure originale et de l’image;
k=ABA′B′
et les distances entre le centre et chaque figure.
k=ZBZB′
Déterminer le facteur
Note 1 : La méthode de construction de l’image d’une figure par homothétie dépend du signe du rapport d’homothétie. Si k>1 il s’agit d’un agrandissement.
MÉTHODE
1.
Détermine
Une longueur de la figure originale; ou
La distance d’un point de la figure originale au centre.
2.
Détermine la longueur correspondante de l’image.
3.
Calcule le rapport entre la longueur de l’image et la longueur de la figure originale.
Note 2 : Si chaque point de l’image se trouve de l’autre côté du centre, le scalaire est négatif.
Exemple
Si AC=3cmetA′C′=−6cm
Alorsk=ACA′C′=3−6=−2
La figure A’B’C’ est l’image de la figure ABC par l’homothétie de centre O et de rapportk=−2.
Dans ce cas, O, A, et A’ sont alignés, A et A’ sont de part et d’autre du point O etOA’=2×OA.
Construire l’image d’un triangle par homothétie
MÉTHODE
1.
Dessine le triangle ABC et place le point O.
2.
Dessine les droites passant par O et par chaque sommet du triangle ABC
3.
Construit le point A’ sur la demi-droite [OA) tel queOA’=k×OA.Fais de même pour les points B’ sur [OB) tel queOB’=k×OBet C’sur [OC) tel queOC’=k×OC.
4.
Relie ensuite les points A’, B’, et C’. Tu obtiens A’B’C, image de ABC par homothétie de centre O et de rapport k.
Exemple
Construire un triangle ABC et un point O à l’extérieur de ce dernier, puis construire son image A’B’C’ par l’homothétie de centre O et de rapport k=2.
Ici k = 2, il s’agit donc d’un agrandissement. Dessine le triangle ABC et place le point O. Dessine les droites passant par O et chaque sommet du triangle ABC. Construis le point A’ tel que OA’=2×OA et fais de même pour B’ et C’. Relis ensuite les points A’, B’ et C’. Tu obtiens A’B’C’, image de ABC par l’homothétie de centre O et de rapport 2.
Construire l’image d’un carré par homothétie
MÉTHODE
1.
Dessine le carré ABCD et place le point O.
2.
Dessine les droites passant par O et par chaque sommet du carré ABCD.
3.
Construit le point A’ sur la demi-droite [OA) tel queOA’=k×OA.Fais de même pour les points B’ sur [OB) tel que OB’=k×OB,C’ sur [OC) tel queOC’=k×OCet D’ tel queOD’=k×OD.
4.
Relie ensuite les points A’, B’, C’ et D’. Tu obtiens A’B’C’D’, image de ABCD par homothétie de centre O et de rapport k.
Exemple
Dans cette figure, le carré initial ABCD est un carré de 2 cm de côté. Le carré A’B’C’D’ est l’image de ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport 25. Le carré A’’B’’C’’D’’ est l’image de ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport 2−1.
Ici k=25, il s’agit donc d’un agrandissement. Dessine le carré A’B’C’D’ et place le point O. Dessine les droites passant par O et chaque sommet du carré ABCD. Construis le point A’ tel que OA’=25×OA et fais de même pour B’, C’ et D’. Relis ensuite les points A’, B’, C’ et D’. Tu obtiens A’B’C’D’, image de ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport 25.
Aire et volume
Changement d’aire ou de volume :
Aimage=Aoriginal×k2Vimage=Voriginale×∣k∣3
Exemple
Le carré initial ABCD est un carré de 2 cm de côté. Le carré A’B’C’D’ est l’image de ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport 25. Le carré A’’B’’C’’D’’ est l’image de ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport 2−1. Calcule le périmètre du carré A’B’C’D’.
Comme le carré A’B’C’D’ est l’image de ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport 25. Le périmètre de l’image est égal au produit de celui de la figure originale et du rapport d’homothétie.
Ainsi P(A’B’C’D’)=k×P(ABCD)
OrP(ABCD)=AB×4
P(ABCD)=2×4=8cm
DoncP(A’B’C’D’)=25×8
P(A’B’C’D’)=20cm
Calcule l’aire du carré A’B’C’D’.
Comme le carré A’’B’’C’’D’’ est l’image de ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport2−1. L’aire de l’image est égale au produit de celui de la figure originale et du rapport d’homothétie
AinsiA(A’′B’′C’′D’′)=k2×A(ABCD)
OrA(ABCD)=AB×BC
A(ABCD)=2×2=4cm2
DoncA(A’′B′’C′’D’′)=(−12)2×4
A(A’′B’′C’′D′’)=1cm2
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Apprenez avec les Bases
Apprenez les bases avec des unités théoriques et mettez en pratique ce que vous avez appris à l'aide d'ensembles d'exercices !
Durée:
Unité 1
Homothétie : définition et propriétés
Test Avancé
Obtenez un score de 80 % pour accéder directement à l'unité finale.
Optionnel
Unité 2
Homothétie : facteur d'homothétie et construction
Test final
Testez la révision de toutes les unités pour réclamer une planète de récompense.
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Questions fréquemment posées sur les crédits
Quand utiliser le théorème de Thales avec la similitude?
Le théorème de Thalès utilise la similitude pour établir des rapports entre les longueurs de deux triangles semblables.
Quelle est la formule pour trouver l'aire d'une image par homothétie de rapport k?
A_image = A_original × k^2
Comment construire l’image d’un triangle par homothétie?
Dessine le triangle ABC et place le point O. Dessine les droites passant par O et par chaque sommet du triangle ABC. Construit le point A’ sur la demi-droite [OA) tel que OA’= k × OA. Fais de même pour les points B’ sur [OB) tel que OB’= k × OB et C’ sur [OC) tel que OC’= k × OC. Relie ensuite les points A’, B’, et C’. Tu obtiens A’B’C’, image de ABC par homothétie de centre O et de rapport k.