Homothétie : facteur d'homothétie et construction

Définition

On parle d’homothétie lorsqu’une figure est réduite, agrandie et/ou reflétée. L’homothétie est définie par un centre et un nombre non nul appelé « rapport » de l’homothétie.

Dans une homothétie de rapport $k>0$ , l’alignement et les mesures des angles sont conservés, les longueurs sont multipliées par $k$ , les aires sont multipliées par $k^2$ , et les volumes sont multipliés par $k^3$ .

Facteur d’homothétie, le rapport

On peut déterminer une constante $k$ qui donne le rapport de grandeur entre la figure originale et son image :

$k=\frac{Longueur\ de\ l' i m a g e}{Longueur\ originale}$

Ce rapport reste le même lorsqu’on compare

les longueurs des côtés de la figure originale et de l’image ;	$k=\frac{\overline{A' B'}}{\overline{AB}}$
et les distances entre le centre et chaque figure.	$k=\frac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}}$

Déterminer le facteur

Note 1 : La méthode de construction de l’image d’une figure par homothétie dépend du signe du rapport d’homothétie. Si k>1 il s’agit d’un agrandissement.

MÉTHODE

1.

Détermine

Une longueur de la figure originale ; ou
La distance d’un point de la figure originale au centre.

2.

Détermine la longueur correspondante de l’image.

3.

Calcule le rapport entre la longueur de l’image et la longueur de la figure originale.

Note 2 : Si chaque point de l’image se trouve de l’autre côté du centre, le scalaire est négatif.

Exemple

Si $AC=3cm$ et $A'C'=-6cm$ 

Alors $k=\ \frac{A' C'}{AC\ }=\ \frac{-6}{3\ }\ =\ -\ 2$ 

La figure A’B’C’ est l’image de la figure ABC par l’homothétie de centre O et de rapport $k\ =\ -\ 2.$ 

Dans ce cas, O, A, et A’ sont alignés, A et A’ sont de part et d’autre du point O et $OA’ = 2 × OA.$ 

Construire l’image d’un triangle par homothétie

MÉTHODE

1.	Dessine le triangle ABC et place le point O.
2.	Dessine les droites passant par O et par chaque sommet du triangle ABC
3.	Construit le point A’ sur la demi-droite [OA) tel que $OA’= k × OA.$ Fais de même pour les points B’ sur [OB) tel que $OB’= k × OB$ et C’sur [OC) tel que $OC’= k × OC$ .
4.	Relie ensuite les points A’, B’, et C’. Tu obtiens A’B’C, image de ABC par homothétie de centre O et de rapport k.

Exemple

Construire un triangle ABC et un point O à l’extérieur de ce dernier, puis construire son image A’B’C’ par l’homothétie de centre O et de rapport $k=2$ .

Ici k = 2, il s’agit donc d’un agrandissement.
Dessine le triangle ABC et place le point O.
Dessine les droites passant par O et chaque sommet du triangle ABC.
Construis le point A’ tel que $\ OA’=2×OA$ et fais de même pour B’ et C’.
Relis ensuite les points A’, B’ et C’. Tu obtiens A’B’C’, image de ABC par l’homothétie de centre O et de rapport 2.

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Construire l’image d’un carré par homothétie

MÉTHODE
1.	Dessine le carré ABCD et place le point O.
2.	Dessine les droites passant par O et par chaque sommet du carré ABCD.
3.	Construit le point A’ sur la demi-droite [OA) tel que $OA’= k × OA.$ Fais de même pour les points B’ sur [OB) tel que $OB’= k × OB,$ C’ sur [OC) tel que $OC’= k × OC$ et D’ tel que $OD’= k × OD$ .
4.	Relie ensuite les points A’, B’, C’ et D’. Tu obtiens A’B’C’D’, image de ABCD par homothétie de centre O et de rapport k.

Exemple

Dans cette figure, le carré initial ABCD est un carré de 2 cm de côté. Le carré A’B’C’D’ est l’image de ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport $\frac52$ . Le carré A’’B’’C’’D’’ est l’image de ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport $\frac{-1}{2}$ .

Ici $k=\frac52$ , il s’agit donc d’un agrandissement.
Dessine le carré A’B’C’D’ et place le point O.
Dessine les droites passant par O et chaque sommet du carré ABCD.
Construis le point A’ tel que $\ OA’=\frac52×OA$ et fais de même pour B’, C’ et D’.
Relis ensuite les points A’, B’, C’ et D’. Tu obtiens A’B’C’D’, image de ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport $\frac52$ .

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Aire et volume

Changement d’aire ou de volume :

$A_{image}=A_{original}\times k^2\\V_{image}=V_{originale}\times\left|k\right|^3$

Exemple

Le carré initial ABCD est un carré de $\mathbf{2}$ cm de côté. Le carré A’B’C’D’ est l’image de ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport $\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{2}}$ . Le carré A’’B’’C’’D’’ est l’image de ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport $\frac{-\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$ .
Calcule le périmètre du carré A’B’C’D’.

Mathématiques; Transformations géométriques; 3e; Homothétie : facteur d'homothétie et construction

Comme le carré A’B’C’D’ est l’image de ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport $\frac52$ . Le périmètre de l’image est égal au produit de celui de la figure originale et du rapport d’homothétie.

Ainsi $P(A’B’C’D’) = k× P(ABCD)$ 

Or $P\left(ABCD\right)=AB\times\ 4$ 

$P\left(ABCD\right)=2\times\ 4=8cm$ 

Donc $P(A’B’C’D’)= \frac52× 8$ 

$\underline{P(A’B’C’D’)= 20cm}$ 

Calcule l’aire du carré A’B’C’D’.

Comme le carré A’’B’’C’’D’’ est l’image de ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport $\frac{-1}{2}$ . L’aire de l’image est égale au produit de celui de la figure originale et du rapport d’homothétie

Ainsi $A(A’'B’'C’'D’') = k2× A(ABCD)$ 

Or $A\left(ABCD\right)=AB\times\ BC$ 

$A\left(ABCD\right)=2\times\ 2=4cm^2$ 

Donc $A(A’'B'’C'’D’')= (-12)^2× 4$ 

$\underline{A(A’'B’'C’'D'’)= 1cm^2}$ 