Factorisation : mise en évidence et cas particuliers

Définition 

La factorisation est la séparation d’une expression en facteurs : 

• Nombres multipliés 
• Variables 
• Parenthèses 

Exemple 

​$$\underbrace{\underbrace{3}\times\underbrace{x}\underbrace{(3x+2)}\times\underbrace{(x-1)}\times\underbrace{(1+x)}}_{Facteurs}$$​​

Méthode 

Conseil : Vérifie ta factorisation en la développant (multiplie les termes), tu dois retrouver l’expression initiale. 

Mise en évidence 

Si possible, mets en évidence un diviseur commun et/ou une variable commune de l’expression (ou d’une partie de l’expression) à factoriser. 

Note : Quand on « met un terme en évidence », on divise l’expression par ce terme, on l’écrit en premier puis on multiplie avec le résultat de la division. 

Exemple 

​$$9x^2+6x$$​​

Commun : diviseur $$3$$​ et variable $$x$$​ 

Mettre en évidence $$3$$​ et $$x$$​ : 

​$$=3x\times(3x+2)$$​​

CAS PARTICULIER 

Dans certains cas tu peux utiliser des égalités pour factoriser plus vite. 

​$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$​​

Exemple

​$$4^2-2^2\\ =\underline{(4+2)(4-2)}$$​​

Ici 

​$$a=4\quad b=2$$​​

Simplifier une fraction 

Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont sous une forme factorisée, on peut la simplifier en enlevant les facteurs se trouvant à la fois en haut et en bas de la barre de fraction. 

Méthode 

Exemple 

Simplifie la fraction suivante : 

$$\frac{9x^2+3x}{3x^2+3x}$$​​

Factorise le numérateur et le dénominateur : 

$$\frac{3x(3x+1)}{3x(x+1)}$$​​

Facteur en commun :

$$3x$$​ 

Simplification :

​$$\frac{(3x+1)}{(x+1)}=\frac{3x+1}{x+1}$$​​