Quatrième proportionnelle : les méthodes

La quatrième proportionnelle est la valeur manquante dans un tableau de proportionnalité.

Exemple

Au musée, le prix est proportionnel au nombre de places achetées.

Complète le tableau ci-dessous par différentes méthodes :

Mathématiques; Proportionnalité; 4e; Quatrième proportionnelle : les méthodes

Méthode 1 : le coefficient de proportionnalité

Commençons par chercher le prix de huit places de musée. Note ce nombre $x$ . On obtient le tableau de proportionnalité suivant.

Mathématiques; Proportionnalité; 4e; Quatrième proportionnelle : les méthodes

Le nombre cherché dans ce tableau de proportionnalité est appelé quatrième proportionnelle.
On calcule dans un premier temps, le coefficient de proportionnalité : $k=\ 48\ \div\ 3=\ 16.$
Ce nombre correspond au prix d’une place de musée.

On peut donc calculer le prix de $8$ places : $x\ =\ 8\ \times\ 16\ =\ 128$
Le prix de $8$ places de musée est donc de $128\ €.$

Méthode 2 : par addition ou soustraction de deux colonnes

Calculons, à présent le prix $y$ pour $11$ places de musée. Résumons les données connues dans un tableau de proportionnalité :

Mathématiques; Proportionnalité; 4e; Quatrième proportionnelle : les méthodes

On connait le prix payé pour $3$ et $8$ places de musée.
Comme $3\ +\ 8\ =\ 11$ , on additionne les prix de $3$ et $8$ places, soit :

$y\ =\ 48\ +\ 128\ =\ 176.$

Le prix de $11$ places de cinéma est donc de $176$ €.

Méthode 3 : par multiplication ou division d’une colonne

Calculons le prix de $6$ places de musée :

Mathématiques; Proportionnalité; 4e; Quatrième proportionnelle : les méthodes

On connaît le prix pour $3$ places de musée.
Comme $3\ \times\ 2\ =\ 6$ on multiplie le prix de $3$ places par $2$ .

$48\times\ 2\ =\ 96.$

Le prix de $6$ places de cinéma est donc de $96$ €.

Méthode 4 : par le produit en croix

Considérons le tableau de proportionnalité suivant :

Mathématiques; Proportionnalité; 4e; Quatrième proportionnelle : les méthodes

Le coefficient de proportionnalité k qui permet de passer de la deuxième ligne à la première ligne est égal à : $\ k\ =\ \frac{a}{b}\ =\ \frac{c}{d}$

Mathématiques; Proportionnalité; 4e; Quatrième proportionnelle : les méthodes

Par conséquent : $a\times d\ =\ b\ \times c$

Dans ce tableau de proportionnalité, les produits $a\times d$ et $b\ \times c$ sont appelés les produits en croix.

On les symbolise par des flèches formant une croix dans le tableau.

On trouve donc la propriété suivante :

Dans un tableau de proportionnalité, les « produits en croix » sont égaux.

Exemple

Reprenons l’exemple précédent des places de musée et cherchons $z$ le nombre de places nécessaires pour payer $320$ € au total.

On a le tableau suivant :

Mathématiques; Proportionnalité; 4e; Quatrième proportionnelle : les méthodes

Les produits en croix sont égaux donc :

$3\ \times\ 320\ =\ 48\times z$

Soit : $z\ =\ \ \frac{3\ \times\ 320}{48}$

D’où : $z\ =\ \ \frac{960}{48}\ =20$
Avec $320$ €, on peut acheter $20$ places de musée.