Quatrième proportionnelle : les méthodes

La quatrième proportionnelle est la valeur manquante dans un tableau de proportionnalité. 

Exemple  

Au musée, le prix est proportionnel au nombre de places achetées.

Complète le tableau ci-dessous par différentes méthodes :

Méthode 1 : le coefficient de proportionnalité

Commençons par chercher le prix de huit places de musée. Note ce nombre $$x$$​. On obtient le tableau de proportionnalité suivant.

Le nombre cherché dans ce tableau de proportionnalité est appelé quatrième proportionnelle.
On calcule dans un premier temps, le coefficient de proportionnalité : $$k=\ 48\ \div\ 3=\ 16.$$​
Ce nombre correspond au prix d’une place de musée.

On peut donc calculer le prix de $$8$$​ places : $$x\ =\ 8\ \times\ 16\ =\ 128$$​
Le prix de $$8$$​ places de musée est donc de $$128\ €.$$​

Méthode 2 : par addition ou soustraction de deux colonnes

Calculons, à présent le prix $$y$$​ pour $$11$$​ places de musée. Résumons les données connues dans un tableau de proportionnalité :

On connait le prix payé pour $$3$$​ et $$8$$​ places de musée.
Comme $$3\ +\ 8\ =\ 11$$​, on additionne les prix de $$3$$​ et $$8$$​ places, soit :

$$y\ =\ 48\ +\ 128\ =\ 176.$$​​

Le prix de $$11$$​ places de cinéma est donc de $$176$$​ €.

Méthode 3 : par multiplication ou division d’une colonne 

Calculons le prix de $$6$$​  places de musée :

On connaît le prix pour $$3$$​ places de musée.
Comme $$3\ \times\ 2\ =\ 6$$​ on multiplie le prix de $$3$$​ places par $$2$$​. 

$$48\times\ 2\ =\ 96.$$

Le prix de $$6$$ places de cinéma est donc de $$96$$ €.

Méthode 4 : par le produit en croix

Considérons le tableau de proportionnalité suivant :

Le coefficient de proportionnalité k qui permet de passer de la deuxième ligne à la première ligne est égal à : $$\ k\ =\ \frac{a}{b}\ =\ \frac{c}{d}$$​

Par conséquent : $$a\times d\ =\ b\ \times c$$​​

Dans ce tableau de proportionnalité, les produits $$a\times d$$​ et $$b\ \times c$$​ sont appelés les produits en croix.

On les symbolise par des flèches formant une croix dans le tableau.

On trouve donc la propriété suivante :

Dans un tableau de proportionnalité, les « produits en croix » sont égaux.

Exemple 

Reprenons l’exemple précédent des places de musée et cherchons $$z$$ le nombre de places nécessaires pour payer $$320$$​€ au total.

On a le tableau suivant :   

Les produits en croix sont égaux donc :

$$3\ \times\ 320\ =\ 48\times z$$​​

Soit :    $$z\ =\ \ \frac{3\ \times\ 320}{48}$$

D’où  :  $$z\ =\ \ \frac{960}{48}\ =20$$
Avec  $$320$$ €, on peut acheter $$20$$ places de musée.