Fonctions exponentielles : définitions et propriétés

Définition 

Dans une fonction exponentielle, la variable apparaît dans l’exposant.
Les fonctions exponentielles sont souvent utilisées pour décrire des processus de croissance ou de décroissance. 

​$$f(x)=a^x$$​​

La base a est un nombre constant strictement supérieur à zéro : $$a>0$$​. 

Propriétés 

Chaque fonction exponentielle… 

• passe par les points $$(0;1)$$​, $$(1;a)$$​ et $$(-1;\frac1a)$$​. 
• est strictement croissante lorsque $$a>1$$​. 
• est strictement décroissante lorsque $$0<a<1$$​. 
• n’a que des images strictement positives. 

Propriétés algébriques 

Les propriétés des puissances habituelles s’appliquent à $$a^x$$​, quelle que soit la base $$a$$​. 

La fonction exponentielle de base $$e$$​ 

Définition 

Le nombre $$e\approx2,71828…$$​ s’appelle le nombre d’Euler. La fonction exponentielle de base e est la fonction : 

​$$f(x)=e^x$$​​

On la note aussi $$f(x)=\exp(x)$$​. 

Note : La fonction exponentielle de base $$e$$​ est la seule fonction qui est égale à sa dérivée et vérifie $$f(0)=1$$​. 

Graphes 

FONCTION DE BASE  $$e$$​​		Tableau de valeurs pour $$f(x)=e^x$$​​ ​$$x$$​​ ​$$-3$$​​ ​$$-2$$​​ ​$$-1$$​​ ​$$0$$​​ ​$$1$$​​ ​$$2$$​​ ​$$3$$​​ ​$$y$$​​ ​$$0,050$$​​ ​$$0,135$$​​ ​$$\frac1e$$​​ ​$$0$$​​ ​$$e$$​​ ​$$7,39$$​​ ​$$20,1$$​​
$$a>1$$ : FONCTION CROISSANTE		Tableau de valeurs pour $$f(x)=2^x$$​​ ​$$x$$​​ ​$$-3$$​​ ​$$-2$$​​ ​$$-1$$​​ ​$$0$$​​ ​$$1$$​​ ​$$2$$​​ ​$$3$$​​ ​$$y$$​​ ​$$\frac18$$​​ ​$$\frac14$$​​ ​$$\frac12$$​​ ​$$0$$​​ ​$$2$$​​ ​$$4$$​​ ​$$8$$​​
$$0<a<1:$$​ FONCTION DÉCROISANTE		Tableau de valeurs pour $$f(x)=(\frac12)^x$$​​ ​$$x$$​​ ​$$-3$$​​ ​$$-2$$​​ ​$$-1$$​​ ​$$0$$​​ ​$$1$$​​ ​$$2$$​​ ​$$3$$​​ ​$$y$$​​ ​$$8$$​​ ​$$4$$​​ ​$$2$$​​ ​$$0$$​​ ​$$\frac12$$​​ ​$$\frac14$$​​ ​$$\frac18$$​​

Fonction $$e^{kx}$$​​

Lorsqu’on multiplie la variable par un nombre réel $$k>0$$​, la fonction exponentielle devient plus raide $$(k>1)$$​ ou moins raide $$(k<1)$$​.	Lorsqu’on multiplie la variable par un nombre réel $$k<0$$​, la fonction se retourne et devient plus raide $$(|k|>1)$$​ ou moins raide $$(|k|<1)$$​.