Nuage de points et droites

Définition

On utilise un nuage de points pour étudier simultanément deux variables statistiques sur un graphique. Les points représentés sont les couples de caractères associés $$(x_i,y_i$$​), où $$x_i$$​ et $$y_i$$​ sont les caractères $$x$$​ et $$y$$​ associés à l’élément $$I$$​. Il y a autant de point sur le graphique que de couple $$(x_i,y_i$$​), soit $$n$$​ éléments.

Représentation

MÉTHODE

Conseil : Choisis pour chaque axe l’échelle qui convient le mieux pour lire les résultats facilement.

Exemple 

On étudie un éventuel lien entre le nombre de centimètre de pluie tombée durant un mois, et le nombre de parapluie vendu ce même mois. Pour cela, on a à disposition un tableau de données :

Nombre de points : $$n=7$$​

Construis le nuage de points associé au tableau :

Note : On aurait aussi pu représenter les parapluies vendus en abscisse et les centimètres de pluie en ordonnée.

Point moyen

Le point moyen $$G\left(\overline{x},\ \overline{y}\right)\$$​ est un point qui a $$\overline{x}$$​, la moyenne des observations de la variable $$x$$​, comme abscisse et la moyenne des observations de la variable $$\overline{y},\$$​ comme ordonnée.

Exemple 

Avec les mêmes données que l’exemple précédent

Calcule les moyennes $$\overline{x}$$ et $$\overline{y}$$​ :

​$$G(1,9;37,4)$$​​

Droite de régression

Une droite de régression, aussi appelée droite d’ajustement affine, est le tracé d’une droite $$y=ax+b$$​ passant au plus proche des points du nuage de points. L’idée est de trouver une droite qui pourrait estimer une position moyenne pour l’ensemble du nuage de points, et permettre de prédire des nouveaux points.

La droite de régression permet de traduire mathématiquement la corrélation qu’il existe entre deux variables.

Exemple

Donc s’il pleut $$1,5\ cm$$ ce mois, la droite de régression permet d’estimer qu’environ $$30$$​ parapluies seront vendus.

Droite des moindres carrés

Il s’agit d’une droite de régression construite grâce à la méthode des moindres carrés.

Cette méthode vise à créer une droite de régression de telle sorte que la somme du carré des distances qui séparent chaque point de la droite soit la plus petite possible.

Note : La distance entre un point et la droite peut être négative si le point se situe en dessous de la droite. Or, comme on doit minimiser la distance, une valeur positive est nécessaire, c’est pourquoi on prend le carré des distances.

Exemple